Lenguaje: variables proposicionales (p, q, r…) que representan proposiciones simples; cinco conectivas: negación (¬), conjunción (∧), disyunción (∨), condicional (→) y bicondicional (↔); y paréntesis. Con reglas de formación se construyen las fórmulas bien formadas (fbf).

Tablas de verdad: el cálculo es veritativo-funcional; el valor de una fórmula depende del de sus componentes. La tabla recoge las 2^n combinaciones (n variables) y define cada conectiva (p.ej. p→q es falso solo si p es V y q es F).

Clasificación: tautología (verdadera en todos los casos, p.ej. p∨¬p), contradicción (falsa en todos, p∧¬p) y contingencia.

Validez: un razonamiento es válido si el condicional «(premisas) → conclusión» es una tautología (no hay caso con premisas verdaderas y conclusión falsa). Las tablas son un procedimiento de decisión. Conclusión: el método semántico permite decidir mecánicamente la validez.

Método sintáctico: frente a las tablas (semántica), la deducción natural deriva la conclusión de las premisas aplicando reglas de inferencia, sin construir tablas.

Reglas principales:

• Modus ponens: de p → q y p, se infiere q.
• Modus tollens: de p → q y ¬q, se infiere ¬p.
• Silogismo hipotético: de p → q y q → r, se infiere p → r.
• Silogismo disyuntivo: de p ∨ q y ¬p, se infiere q.
• Reglas de introducción/eliminación de cada conectiva (de p y q se infiere p ∧ q, etc.).

Encadenando reglas se obtiene una derivación o demostración. Conclusión: los métodos semántico (tablas) y sintáctico (deducción) coinciden en sus resultados (corrección y completud del cálculo).

Límite del cálculo de proposiciones: toma las proposiciones como átomos sin analizar; no puede validar el silogismo «Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre; luego Sócrates es mortal», que quedaría como p, q ⊢ r (inválido). Hay que analizar la estructura interna.

Cálculo de predicados: añade constantes (a) y variables (x) de individuo, predicados (P, R para propiedades y relaciones) y cuantificadores: universal ∀x («para todo x») y existencial ∃x («existe un x»). Conserva las conectivas.

Formalización: A «todo S es P» = ∀x (Sx → Px); I «algún S es P» = ∃x (Sx ∧ Px). Las universales usan condicional; las particulares, conjunción. Permite formalizar relaciones y generalidad múltiple (∀x∃y Axy). Conclusión: mayor potencia expresiva, capaz de formalizar el razonamiento matemático; es correcto y completo (Gödel 1930) pero no decidible (Church 1936).

Tautología: verdadera en todos los casos (p ∨ ¬p). Contradicción: falsa en todos (p ∧ ¬p). Contingencia: verdadera en unos casos y falsa en otros (p ∧ q).

Únicamente cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. En los demás casos (p falso, o q verdadero) es verdadero.

«Todos los hombres son mortales» = ∀x (Hx → Mx). «Algún filósofo es griego» = ∃x (Fx ∧ Gx).