La capitalización simple y compuesta: interés, descuento, equivalencia financiera y cuentas corrientes

Tema desarrollado siguiendo la estructura habitual de la oposición. La información es orientativa: verifica siempre el temario, la normativa y el currículo vigentes en tu convocatoria y tu comunidad autónoma.

Índice

• 0. Introducción
• 1. Relación con el currículo
• 2. La capitalización simple
  • 2.1. El interés simple
  • 2.2. El descuento simple
  • 2.3. La equivalencia financiera
  • 2.4. Las cuentas corrientes
• 3. La capitalización compuesta
  • 3.1. El interés compuesto
  • 3.2. El descuento compuesto
  • 3.3. Tantos equivalentes y nominales
• 4. Conclusiones
• 5. Bibliografía y webgrafía

0. Introducción

El tema anterior cerró el bloque jurídico-administrativo. Con este tema se inicia el bloque de matemática financiera, herramienta básica de la gestión empresarial. Su idea central es el valor del dinero en el tiempo: un euro hoy vale más que un euro dentro de un año, porque el dinero presente puede invertirse y producir intereses. Para comparar capitales situados en momentos distintos necesitamos una ley financiera que permita trasladarlos a un mismo instante.

Llamamos capitalización al traslado de un capital hacia el futuro (calcular su montante) y descuento o actualización al traslado hacia el presente (calcular su valor actual). Según cómo se generen los intereses distinguimos dos regímenes: el simple (los intereses no se acumulan al capital; se usa en el corto plazo) y el compuesto (los intereses se acumulan y generan nuevos intereses; se usa en el largo plazo). Siguiendo el título, estudiaremos primero la capitalización simple (interés, descuento, equivalencia y cuentas corrientes) y después la compuesta (interés, descuento y tantos equivalentes).

Conviene asentar antes tres conceptos teóricos. Un capital financiero es un par (C; t): una cuantía monetaria C referida a un vencimiento o instante t; dos cuantías iguales en fechas distintas son capitales financieros distintos. Una operación financiera es el intercambio de capitales entre dos partes: la prestación (lo que entrega quien aporta el capital) y la contraprestación (lo que devuelve la otra parte); la operación es justa cuando ambas son financieramente equivalentes. Y una ley financiera es la función matemática que traslada un capital de un instante a otro: si lo lleva al futuro es una ley de capitalización; si lo trae al presente, una ley de descuento. Las cuatro leyes que desarrolla el tema (capitalización y descuento, en regímenes simple y compuesto) son las de uso universal en la práctica.

Notación: C = capital inicial o principal; C_n = montante o capital final; I = interés; i = tipo de interés en tanto por uno; d = tipo de descuento; n = tiempo (en la misma unidad que el tipo); N = nominal o valor final; V = valor actual o efectivo.

1. Relación con el currículo

Dentro de la familia profesional de Administración y Gestión (marco de la LOE 2/2006, modificada por la LOMLOE 3/2020, y de la Ley Orgánica 3/2022 de Formación Profesional), este tema sustenta:

• Administración y Finanzas (Grado Superior, Real Decreto 1584/2011): el módulo Gestión financiera, donde se calculan operaciones de capitalización, descuento de efectos, préstamos y productos de inversión.
• Gestión Administrativa (Grado Medio, Real Decreto 1631/2009): el módulo Operaciones administrativas de compraventa y la gestión de tesorería, con el descuento de efectos comerciales.

El enfoque didáctico debe ser aplicado: partir de situaciones reales (un depósito, una letra de cambio, una cuenta corriente) y llegar a la fórmula, usando la hoja de cálculo y la calculadora financiera. Se citará la normativa autonómica del currículo correspondiente.

2. La capitalización simple

2.1. El interés simple

En el régimen de interés simple los intereses que produce el capital no se acumulan a él: se calculan siempre sobre el capital inicial y son proporcionales al tiempo. El interés total es:

I = C · i · n

Y el montante o capital final, sumando el capital y sus intereses:

C_n = C · (1 + i · n)

El tipo i y el tiempo n deben ir en la misma unidad temporal. Cuando el tiempo se mide en días, se divide por la base anual: I = C · i · t / 360 (año comercial, base 360 días, el habitual en banca) o / 365 (año civil o real). El interés simple se aplica a operaciones a corto plazo (menos de un año), porque su crecimiento es lineal.

De la fórmula del montante se despeja cualquier incógnita, lo que cubre los problemas habituales: el capital inicial C = C_n / (1 + i · n); el tipo i = (C_n − C) / (C · n); y el tiempo n = (C_n − C) / (C · i). Como los intereses no se reinvierten, en el interés simple los tantos son proporcionales: un tipo anual i equivale exactamente a uno mensual i/12 o diario i/360 (idea que cambiará en el régimen compuesto).

Ejemplo: 10.000 € al 4 % anual simple durante 9 meses (n = 9/12 = 0,75 años) producen I = 10.000 · 0,04 · 0,75 = 300 €, y un montante de 10.300 €. Si en lugar de meses el plazo fueran 270 días con año comercial, I = 10.000 · 0,04 · 270/360 = 300 € (mismo resultado); con año civil (270/365) saldría 295,89 €.

2.2. El descuento simple

El descuento es la operación inversa: obtener hoy el valor actual (efectivo) de un capital con vencimiento futuro (un nominal N), rebajándole los intereses del tiempo que se anticipa. Es la operación típica del descuento de efectos comerciales (letras, pagarés) en el banco. Hay dos modalidades:

• Descuento comercial o bancario: los intereses se calculan sobre el nominal y con un tipo de descuento d. El descuento y el efectivo son:

  D_c = N · d · n → V = N · (1 − d · n)

  Es el más usado en la práctica bancaria.
• Descuento racional o matemático: los intereses se calculan sobre el efectivo (es coherente con el interés simple). Su valor actual y su descuento son:

  V = N / (1 + i · n) → D_r = N · i · n / (1 + i · n)

Para un mismo nominal, tipo y plazo se cumple que el descuento comercial es mayor que el racional (D_c > D_r), porque el primero aplica el tipo sobre una base mayor (el nominal). El descuento comercial tiene además un límite temporal: como V = N · (1 − d · n) ha de ser positivo, solo tiene sentido mientras n < 1/d (si se rebasa, el efectivo sería negativo). El descuento racional no presenta esa restricción.

El tipo de interés i (interés vencido, que se paga al final) y el tipo de descuento d (interés anticipado, que se cobra por adelantado) son magnitudes distintas pero relacionadas. Para un periodo unitario, ambos son equivalentes cuando d = i / (1 + i) e, inversamente, i = d / (1 − d); de ahí que siempre d < i. En el descuento de efectos, además, el banco suele cobrar comisiones y otros gastos (timbre, correo), que reducen aún más el líquido abonado y elevan el coste efectivo real de la operación por encima del tipo de descuento nominal.

2.3. La equivalencia financiera

Dos o más capitales situados en momentos distintos son financieramente equivalentes cuando, valorados en un mismo instante y con la misma ley financiera, tienen el mismo valor. El principio de equivalencia es la herramienta para comparar, sustituir o agrupar capitales, e iguala la suma de unos capitales con la de otros en una fecha común. Sus aplicaciones clásicas son:

• Vencimiento común: sustituir varios capitales (C₁, …, C_k, con vencimientos t₁, …, t_k) por uno solo de cuantía conocida M, hallando la fecha t en que vence. Se plantea la ecuación de equivalencia (habitualmente con descuento comercial) en el origen e igualando ambos efectivos.
• Vencimiento medio: sustituir varios capitales por uno solo cuya cuantía es la suma de los originales (M = Σ C_j), hallando la fecha t. En interés simple resulta la media de los vencimientos ponderada por las cuantías:

  t = Σ (C_j · t_j) / Σ C_j

Ejemplo (vencimiento medio): deudas de 2.000 € a 30 días, 3.000 € a 60 días y 5.000 € a 90 días. Su sustitución por un único pago de 10.000 € vence en t = (2.000·30 + 3.000·60 + 5.000·90) / 10.000 = 690.000/10.000 = 69 días.

La equivalencia es la base de toda la matemática financiera: amortizar un préstamo, valorar una renta o comparar inversiones consiste, en el fondo, en plantear una ecuación de equivalencia en una fecha de referencia (la fecha focal).

2.4. Las cuentas corrientes

Una cuenta corriente recoge un conjunto de operaciones (ingresos y reintegros) entre dos partes a lo largo del tiempo. Cuando devengan intereses, estos se liquidan en régimen de interés simple sobre los saldos y el número de días que cada saldo permanece. El método más extendido es el método hamburgués o de saldos:

1. Se ordenan las operaciones por fecha y se calcula el saldo después de cada una.
2. Para cada saldo se cuentan los días hasta el movimiento siguiente y se obtiene el número comercial = saldo · días.
3. El interés del periodo es la suma de los números, multiplicada por el tipo y dividida por la base: I = (Σ números) · i / 360. La expresión 360 / i se denomina divisor fijo.

Las cuentas corrientes se clasifican, según los tipos aplicados, en cuentas de interés recíproco (mismo tipo para saldos deudores y acreedores) y de interés no recíproco (tipos distintos, lo habitual: el deudor es más alto); y por la fecha de cálculo, en métodos directo, indirecto y hamburgués o de saldos, siendo este último el de uso general por su sencillez. Cuando los tipos deudor y acreedor son distintos, se separan los números según el signo del saldo y se aplica a cada grupo su divisor fijo. El resultado es la liquidación periódica de la cuenta, que añade comisiones y, en su caso, retención fiscal sobre los intereses acreedores. Este mecanismo es el que aplican los bancos en las cuentas y en las pólizas de crédito.

3. La capitalización compuesta

3.1. El interés compuesto

En el régimen de interés compuesto los intereses de cada periodo se acumulan al capital y, en el periodo siguiente, también generan intereses (capitalización de intereses). El montante crece de forma exponencial:

C_n = C · (1 + i)ⁿ

Y el interés total acumulado es I = C_n − C = C · [ (1 + i)ⁿ − 1 ]. El factor (1 + i)ⁿ es el factor de capitalización compuesta; su inverso, (1 + i)⁻ⁿ, es el factor de actualización, que permite hallar el valor actual: C = C_n · (1 + i)⁻ⁿ. Cuando los periodos de capitalización son fraccionarios (m subperiodos al año, con tipo i_m) el montante se calcula como C_n = C · (1 + i_m)^m·n.

Para un mismo capital, tipo y plazo, el interés compuesto produce un montante mayor que el simple cuando n > 1 (y menor cuando n < 1; coinciden cuando n = 1). Por eso el régimen compuesto es el propio de las operaciones a largo plazo (préstamos, empréstitos, inversiones).

Igual que en el régimen simple, de la fórmula del montante se despejan las demás incógnitas, pero ahora intervienen raíces y logaritmos: el tipo i = (C_n / C)^1/n − 1 y el tiempo n = [ ln(C_n) − ln(C) ] / ln(1 + i). En el límite, cuando la capitalización es continua (m → ∞), el montante tiende a C_n = C · e^δ·n, donde δ = ln(1 + i) es la fuerza de interés o tanto instantáneo; es un modelo teórico útil en valoración y en finanzas cuantitativas.

Ejemplo: 10.000 € al 4 % compuesto durante 3 años: C₃ = 10.000 · 1,04³ = 10.000 · 1,124864 = 11.248,64 € (frente a 11.200 € que daría el interés simple). ¿En cuántos años se duplica un capital al 4 %? n = ln 2 / ln 1,04 ≈ 17,67 años (la conocida «regla del 72»: 72/4 = 18, da una buena aproximación mental).

3.2. El descuento compuesto

El descuento compuesto actualiza un nominal futuro N con la ley compuesta. También admite dos modalidades:

• Descuento compuesto racional o matemático (el habitual, coherente con el interés compuesto):

  V = N · (1 + i)⁻ⁿ → D = N · [ 1 − (1 + i)⁻ⁿ ]

• Descuento compuesto comercial, que aplica el tipo de descuento d de forma compuesta sobre el nominal:

  V = N · (1 − d)ⁿ

El descuento compuesto se emplea para anticipar capitales a largo plazo, mientras que el descuento simple comercial es el propio del descuento de efectos a corto.

3.3. Tantos equivalentes y nominales

Un mismo tipo anual puede expresarse referido a periodos distintos (semestral, trimestral, mensual). Dos tantos son equivalentes cuando, aplicados a un mismo capital durante el mismo tiempo, producen el mismo montante. Aquí aparece la diferencia esencial entre los dos regímenes:

• En interés simple, los tantos equivalentes son proporcionales: el tipo del subperiodo es i_m = i / m (por ejemplo, el mensual es la doceava parte del anual).
• En interés compuesto, los tantos equivalentes no son proporcionales, sino que cumplen la relación:

  (1 + i) = (1 + i_m)^m → i_m = (1 + i)^1/m − 1

Se llama tanto nominal (J_m) al tipo anual que se reparte proporcionalmente entre los m subperiodos para obtener el tipo de cada uno: J_m = m · i_m. El tanto nominal no es el tipo efectivo anual: la capitalización de los intereses hace que, a partir del nominal, el efectivo anual sea mayor. Ese tipo efectivo anual es la base de la TAE (Tasa Anual Equivalente), que las entidades están obligadas a publicar para que los productos financieros sean comparables: TAE = (1 + J_m/m)^m − 1.

En la práctica bancaria, el tanto nominal coincide con el TIN (Tipo de Interés Nominal); la TAE incorpora, además del efecto de la capitalización, las comisiones y gastos de la operación, por lo que es el indicador correcto para comparar préstamos o depósitos. Su cálculo y publicación están regulados por el Banco de España (Circular 5/2012 y normativa de transparencia). Ejemplo: un nominal del 12 % con capitalización mensual (J₁₂ = 12 %, i₁₂ = 1 % mensual) equivale a una TAE = 1,01¹² − 1 = 12,68 %: el efectivo supera al nominal por la reinversión mensual de los intereses. La distinción entre tanto nominal (TIN) y tanto efectivo (TAE) es clave para no confundir ofertas bancarias.

El siguiente cuadro sintetiza el contraste entre ambos regímenes:

Aspecto	Capitalización simple	Capitalización compuesta
Intereses	No se acumulan (sobre el capital inicial)	Se acumulan y generan nuevos intereses
Montante	C·(1+i·n) — crecimiento lineal	C·(1+i)n — crecimiento exponencial
Tantos equivalentes	Proporcionales (im = i/m)	No proporcionales ((1+i) = (1+im)m)
Ámbito típico	Corto plazo (< 1 año), efectos, cuentas	Largo plazo: préstamos, empréstitos, inversiones

4. Conclusiones

Este tema sienta las leyes financieras sobre las que se construye toda la gestión financiera. La capitalización simple —con su interés, su descuento (comercial y racional), la equivalencia y las cuentas corrientes— rige el corto plazo y las operaciones comerciales; la capitalización compuesta —con su interés, su descuento y los tantos equivalentes— rige el largo plazo. La idea transversal es siempre el valor del dinero en el tiempo y el principio de equivalencia, que permite comparar capitales en una fecha común.

Para el profesorado de Administración de Empresas, dominar estas herramientas es imprescindible y muy formativo: conecta las matemáticas con decisiones reales (comparar un depósito y un fondo, descontar una letra, entender la TAE de un préstamo). El tema enlaza directamente con los siguientes, dedicados a las rentas, los préstamos y los empréstitos, que no son sino aplicaciones de la capitalización compuesta a conjuntos de capitales.

5. Bibliografía y webgrafía

• GIL PELÁEZ, L.: Matemática de las operaciones financieras. Editorial AC.
• BONILLA, M.; IVARS, A.; MOYA, I.: Matemática de las operaciones financieras. Thomson.
• Manuales de los módulos Gestión financiera y Operaciones administrativas de compraventa (familia de Administración y Gestión).
• Webgrafía: Banco de España, Departamento de Conducta de Entidades (información sobre la TAE) y el portal Finanzas para todos (finanzasparatodos.es); Instituto Nacional de Estadística (ine.es).