La estadística descriptiva: medidas, gráficos, regresión, correlación y números índices

Tema desarrollado siguiendo la estructura habitual de la oposición. La información es orientativa: verifica siempre el temario, la normativa y el currículo vigentes en tu convocatoria y tu comunidad autónoma.

Índice

• 0. Introducción
• 1. Relación con el currículo
• 2. La estadística descriptiva: objeto y conceptos básicos
• 3. Fórmulas más características: posición, dispersión y forma
• 4. La representación gráfica de los datos
• 5. Relación entre variables: regresión y correlación
• 6. Los números índices
• 7. Conclusiones
• 8. Bibliografía y webgrafía

0. Introducción

Los temas anteriores han estudiado las magnitudes económicas y su relación con el exterior. Pero para analizar esos datos —y, en general, cualquier información de la empresa: ventas, costes, producción, encuestas de clientes— se necesita una herramienta específica: la estadística. La estadística es la ciencia que se ocupa de recoger, organizar, describir y analizar datos para extraer conclusiones y apoyar la toma de decisiones.

Se distinguen dos ramas. La estadística descriptiva, objeto de este tema, resume y describe un conjunto de datos mediante tablas, gráficos y medidas. La estadística inferencial (temas posteriores) va más allá: a partir de una muestra, extrae conclusiones sobre toda la población. Estudiaremos aquí el objetivo de la estadística descriptiva, sus fórmulas más características, la representación gráfica, la relación entre variables (regresión y correlación) y los números índices.

1. Relación con el currículo

Los contenidos estadísticos aparecen en numerosos módulos de la familia de Administración y Gestión y de Comercio y Marketing: en la investigación de mercados, en el control de gestión, en la contabilidad analítica y en el tratamiento informático de datos con hojas de cálculo. Desarrollan la competencia de interpretar información cuantitativa y de presentarla de forma clara para la toma de decisiones.

Por su carácter instrumental y aplicado, se prestan a un aprendizaje muy práctico con datos reales y con herramientas informáticas (hojas de cálculo, gestores de bases de datos), lo que conecta con las competencias digitales. Enlaza con las magnitudes económicas (temas 70 y 71) y con el análisis de series temporales y la inferencia estadística de los temas siguientes.

2. La estadística descriptiva: objeto y conceptos básicos

El objetivo de la estadística descriptiva es sintetizar la información contenida en un conjunto de datos para hacerla comprensible, sin pretender generalizar a una población mayor. Todo estudio estadístico atraviesa varias fases: la recogida de datos (por observación, encuesta o registros administrativos), su depuración (detección de errores y valores anómalos), la tabulación u organización en tablas de frecuencias, el análisis mediante medidas y gráficos y, finalmente, la interpretación y presentación de los resultados. La calidad del análisis depende críticamente de la de los datos de partida: unos datos mal recogidos conducen a conclusiones erróneas por muy sofisticado que sea el tratamiento posterior. Sus conceptos básicos son:

• Población: conjunto de todos los elementos objeto de estudio (por ejemplo, todos los clientes de una empresa). Muestra: subconjunto representativo de la población. Cada elemento es una unidad estadística.
• Carácter o variable: la propiedad que se estudia. Puede ser cualitativa o atributo (no numérica: sexo, color, provincia) o cuantitativa (numérica). La cuantitativa es discreta si toma valores aislados (número de hijos) o continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo (peso, estatura).
• Frecuencias: la frecuencia absoluta (n_i) es el número de veces que se repite un valor; la relativa (f_i = n_i/N) es su proporción sobre el total; y las acumuladas (N_i, F_i) suman las anteriores. La ordenación de los datos con sus frecuencias es la distribución de frecuencias, que se recoge en una tabla estadística.

Según el número de variables analizadas a la vez, el estudio es unidimensional (una variable), bidimensional (dos, para estudiar su relación) o multidimensional.

Cuando la variable continua toma muchos valores distintos, los datos se agrupan en intervalos o clases (por ejemplo, salarios de 1.000 a 1.500 €, de 1.500 a 2.000 €, etc.). Cada intervalo se resume por su marca de clase (x_i), que es su punto medio y se usa como valor representativo en los cálculos, y por su amplitud (la diferencia entre sus extremos). La agrupación facilita el manejo de grandes conjuntos de datos, a costa de una pequeña pérdida de precisión, ya que se supone que todos los valores de un intervalo se concentran en su marca de clase.

El tipo de variable determina qué operaciones y qué medidas tienen sentido, lo que se formaliza en las escalas de medida. La escala nominal se limita a clasificar en categorías sin orden (el sexo, la provincia); solo admite la moda y las frecuencias. La escala ordinal establece un orden entre categorías, pero sin distancias mensurables (el nivel de satisfacción «bajo-medio-alto», el grado de estudios); admite además la mediana. La escala de intervalo permite medir distancias pero carece de cero absoluto (la temperatura en grados Celsius: 0 °C no significa ausencia de temperatura), por lo que no tienen sentido los cocientes. Y la escala de razón posee un cero absoluto (el peso, la renta, el número de empleados), lo que permite todas las operaciones, incluidos los cocientes («gana el doble»). Reconocer la escala de cada variable evita errores tan comunes como calcular la media de una variable meramente ordinal.

3. Fórmulas más características: posición, dispersión y forma

Para describir una distribución se emplean tres tipos de medidas: de posición (dónde se sitúan los datos), de dispersión (cómo se separan) y de forma (su simetría y apuntamiento).

a) Medidas de posición

Las medidas de posición central buscan un valor representativo del conjunto:

• Media aritmética (x̄): el promedio, suma de los valores dividida por su número. x̄ = Σ(x_i·n_i) / N. Es la más usada, pero le afectan los valores extremos.
• Mediana (Me): el valor central que deja el 50 % de los datos a cada lado, una vez ordenados. No le afectan los extremos.
• Moda (Mo): el valor de mayor frecuencia (el más repetido).

La elección de la medida central adecuada depende de los datos. La media aprovecha toda la información, pero se distorsiona con los valores extremos: si en un grupo de sueldos hay uno muy alto, la media «engaña» y es preferible la mediana, más robusta, como valor representativo (por eso las estadísticas de renta suelen dar la mediana). La moda es la única aplicable a variables cualitativas. Junto a la media aritmética existen otras medias para casos especiales: la media geométrica es la idónea para promediar tasas de variación o porcentajes acumulativos (por ejemplo, el crecimiento medio anual), y la media armónica, para promediar magnitudes inversas como velocidades o productividades.

Las medidas de posición no central o cuantiles dividen la distribución ordenada en partes iguales: los cuartiles (en 4 partes), los deciles (en 10) y los percentiles (en 100). Son muy útiles para situar un dato en el conjunto: decir que un alumno está en el percentil 90 significa que supera al 90 % de sus compañeros. La diferencia entre el tercer y el primer cuartil es el recorrido intercuartílico, una medida de dispersión robusta frente a los valores atípicos.

Ejemplo. Para los datos 2, 3, 5, 5, 10 (n = 5): la media es (2 + 3 + 5 + 5 + 10)/5 = 25/5 = 5; la mediana, el valor central una vez ordenados, es 5; y la moda, el valor más repetido, es 5.

b) Medidas de dispersión

Miden cuánto se separan los datos entre sí o respecto de la media:

• Recorrido o rango: diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
• Varianza (σ²): media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. σ² = Σ(x_i − x̄)²·n_i / N.
• Desviación típica (σ): raíz cuadrada de la varianza; se expresa en las mismas unidades que la variable y es la medida de dispersión por excelencia.
• Coeficiente de variación de Pearson (CV = σ / x̄): medida relativa y sin unidades, que permite comparar la dispersión de distribuciones con medias o unidades distintas. Cuanto mayor es, menos representativa es la media.

Ejemplo. Para los datos anteriores (x̄ = 5): las desviaciones al cuadrado son (2−5)² = 9, (3−5)² = 4, (5−5)² = 0, (5−5)² = 0 y (10−5)² = 25, que suman 38. La varianza es σ² = 38/5 = 7,6; la desviación típica, σ = √7,6 ≈ 2,76; y el coeficiente de variación, CV = 2,76/5 ≈ 0,55 (55 %), una dispersión considerable.

La desviación típica permite, además, tipificar los datos. La puntuación típica o estandarizada de un valor es z = (x_i − x̄) / σ, y expresa a cuántas desviaciones típicas se encuentra el dato de la media. Los valores tipificados tienen media 0 y desviación típica 1, lo que hace posible comparar observaciones de distribuciones distintas: un alumno con un 7 en un examen fácil (media 6, σ 0,5 → z = +2) ha destacado más, en términos relativos, que otro con un 8 en uno difícil (media 7, σ 2 → z = +0,5). En las distribuciones aproximadamente normales (con forma de campana), la desviación típica cumple la regla empírica: alrededor del 68 % de los datos se sitúa a ±1σ de la media, el 95 % a ±2σ y el 99,7 % a ±3σ. Esta regla es de enorme utilidad práctica, por ejemplo en el control de calidad, para detectar valores anómalos que se alejen demasiado de lo esperado.

c) Medidas de forma

Describen el perfil de la distribución. La asimetría indica si los datos se reparten simétricamente en torno a la media (asimetría positiva si hay una cola a la derecha, negativa si la hay a la izquierda). La curtosis mide el grado de apuntamiento de la distribución respecto de la normal (leptocúrtica si es más apuntada, platicúrtica si es más aplanada).

Un modo práctico de detectar la asimetría es comparar las tres medidas centrales. En una distribución simétrica, media, mediana y moda coinciden. En una distribución con asimetría positiva (cola a la derecha, típica de la renta o los salarios, con unos pocos valores muy altos), se cumple moda < mediana < media, porque los valores extremos «tiran» de la media hacia arriba. En la asimetría negativa ocurre lo contrario: media < mediana < moda. De hecho, el coeficiente de asimetría de Pearson se define como (media − moda) / σ, de modo que su signo revela directamente el tipo de asimetría. Esta relación explica por qué, en variables muy asimétricas como los ingresos, la media suele ser bastante mayor que la mediana y por qué esta última describe mejor «al ciudadano típico».

4. La representación gráfica de los datos

Los gráficos permiten captar de un vistazo la información que las tablas presentan de forma numérica. Los principales, según el tipo de variable, son:

• Diagrama de barras: para variables cualitativas o cuantitativas discretas; la altura de cada barra representa la frecuencia.
• Diagrama de sectores («tarta»): reparte un círculo en porciones proporcionales a la frecuencia de cada categoría; ideal para mostrar proporciones.
• Histograma: para variables continuas agrupadas en intervalos; a diferencia de las barras, las columnas se dibujan pegadas y su área es proporcional a la frecuencia.
• Polígono de frecuencias: une con una línea los puntos medios de las barras o del histograma, mostrando el perfil de la distribución.
• Pictogramas, cartogramas y diagramas de caja (box-plot): otras representaciones útiles; el box-plot resume la mediana, los cuartiles y los valores atípicos.

Un buen gráfico debe estar bien escalado y rotulado (títulos, ejes, leyenda y fuente) para no inducir a conclusiones erróneas. La representación gráfica es una herramienta poderosa, pero también puede manipularse: truncar el eje vertical para exagerar una diferencia, usar escalas no proporcionales o elegir el tipo de gráfico que más conviene son prácticas frecuentes en la publicidad y en los medios. Por eso, formar en la lectura crítica de gráficos es un objetivo educativo de primer orden: el alumnado debe aprender no solo a construir gráficos honestos, sino a detectar los engañosos. Las hojas de cálculo actuales generan cualquiera de estas representaciones de forma automática a partir de una tabla de datos, lo que hace especialmente accesible este contenido en el aula.

Cuando se estudian dos variables a la vez, los datos se organizan en una tabla de doble entrada o de contingencia, que cruza los valores de una variable (en filas) con los de la otra (en columnas). En ella se distinguen las frecuencias conjuntas (cada casilla: cuántos elementos presentan a la vez un valor de X y uno de Y) y las frecuencias marginales (los totales de cada fila y columna, que recogen la distribución de cada variable por separado). También pueden calcularse distribuciones condicionadas (la de una variable fijado un valor de la otra). Estas tablas son la base para estudiar si existe relación o dependencia entre dos variables —cuantitativas, como veremos con la regresión, o cualitativas, mediante medidas de asociación— y constituyen el puente natural hacia el análisis conjunto que se aborda a continuación.

5. Relación entre variables: regresión y correlación

Cuando se estudian dos variables a la vez (por ejemplo, el gasto en publicidad y las ventas), interesa saber si están relacionadas y cómo. La primera aproximación es la nube de puntos o diagrama de dispersión, que representa cada par de valores (x, y) en unos ejes.

La covarianza (S_xy) mide si las dos variables varían en el mismo sentido (positiva), en sentido contrario (negativa) o sin relación lineal (cero): S_xy = Σ(x_i·y_i)/N − x̄·ȳ. Como depende de las unidades, no permite comparar; para ello se usa el coeficiente de correlación.

a) La regresión

La regresión busca la función matemática que mejor explica una variable (dependiente) en función de otra (independiente). La más sencilla es la regresión lineal simple, que ajusta una recta a la nube de puntos por el método de los mínimos cuadrados (la que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta). La recta de regresión de Y sobre X es ŷ = a + b·x, donde la pendiente es b = S_xy / S_x² y la ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄. La pendiente b indica cuánto varía, por término medio, la variable dependiente al aumentar en una unidad la independiente. La recta sirve para estimar o predecir valores: sustituyendo un valor de x en la recta se obtiene la predicción de y (aunque conviene no extrapolar mucho más allá del rango de los datos observados). La diferencia entre el valor real y el estimado es el residuo, y la calidad del ajuste es mayor cuanto menores son los residuos. Debe tenerse en cuenta que existen dos rectas de regresión distintas —la de Y sobre X (para predecir y a partir de x) y la de X sobre Y (para lo contrario)—, que solo coinciden cuando la correlación es perfecta. La regresión múltiple generaliza la idea: explica una variable dependiente en función de varias variables independientes (ŷ = a + b₁x₁ + b₂x₂ + …), y es muy usada en economía y en el análisis empresarial para aislar el efecto de cada factor.

La bondad del ajuste mide hasta qué punto la recta representa fielmente la nube de puntos. Se fundamenta en la descomposición de la variación de la variable dependiente: la variación total se reparte entre la parte explicada por la regresión y la parte residual (no explicada, recogida en los residuos). El coeficiente de determinación (r²) es precisamente el cociente entre la variación explicada y la total, y por eso se interpreta como la proporción de la variabilidad de Y que el modelo consigue explicar; varía entre 0 (ajuste nulo) y 1 (ajuste perfecto). No siempre la mejor relación es una recta: cuando la nube de puntos sugiere una curva, se recurre a la regresión no lineal —parabólica, exponencial, potencial o logarítmica—, eligiendo la función que proporcione un mayor coeficiente de determinación. Las hojas de cálculo permiten añadir esa «línea de tendencia» y muestran su ecuación y su r², lo que facilita comparar modelos alternativos.

b) La correlación

La correlación mide el grado de relación lineal entre las dos variables. El coeficiente de correlación lineal de Pearson es r = S_xy / (S_x·S_y) y toma valores entre −1 y +1: próximo a +1, correlación positiva fuerte (ambas variables crecen juntas); próximo a −1, negativa fuerte (una crece cuando la otra decrece); próximo a 0, ausencia de relación lineal. Su cuadrado, el coeficiente de determinación (r²), indica la proporción de la variación de Y que queda explicada por X. Advertencia importante: correlación no implica causalidad; dos variables pueden estar correlacionadas por azar o por la influencia de un tercer factor.

Ejemplo. Sea x = gasto en publicidad (miles €) e y = ventas (miles €) en 5 meses: (1, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 7). Se obtiene x̄ = 3, ȳ = 5, y calculando: S_xy = 84/5 − 3·5 = 16,8 − 15 = 1,8; S_x² = 55/5 − 9 = 2; S_y² = 135/5 − 25 = 2. La pendiente es b = 1,8/2 = 0,9 y a = 5 − 0,9·3 = 2,3, luego la recta es ŷ = 2,3 + 0,9x (por cada 1.000 € más de publicidad, las ventas suben 900 € por término medio). El coeficiente de correlación es r = 1,8/(√2·√2) = 1,8/2 = 0,9, una correlación positiva fuerte; y r² = 0,81, es decir, la publicidad explica el 81 % de la variación de las ventas.

6. Los números índices

Un número índice es una medida estadística que expresa la variación de una magnitud (un precio, una producción, unas ventas) respecto de un período base, al que se asigna convencionalmente el valor 100. Permite comparar la evolución de una variable en el tiempo o en el espacio de forma sencilla.

• Índices simples: relacionan una sola magnitud. El índice simple del período t respecto de la base 0 es I = (X_t / X₀) × 100. Por ejemplo, si el precio del pan pasa de 1,00 € (base) a 1,20 €, el índice es (1,20/1,00) × 100 = 120, es decir, un encarecimiento del 20 %.
• Índices complejos o sintéticos: resumen la variación de varias magnitudes a la vez, normalmente ponderando cada una por su importancia. Los más conocidos son el índice de Laspeyres (pondera con las cantidades del año base) y el índice de Paasche (con las del año actual).

El número índice más relevante en economía es el Índice de Precios de Consumo (IPC), que elabora el INE y mide la variación de los precios de una cesta de bienes y servicios representativa del consumo de los hogares; es la referencia habitual de la inflación. Una aplicación fundamental de los índices de precios es deflactar: convertir magnitudes nominales en reales para eliminar el efecto de la inflación (magnitud real = magnitud nominal / índice de precios × 100), como se vio con el PIB real en el tema 70.

Merece la pena conocer cómo se construye el IPC, por ser el índice más influyente. El INE define una «cesta de la compra» con centenares de artículos representativos, agrupados en grandes rúbricas (alimentación, vivienda, transporte, ocio…). A cada artículo se le asigna una ponderación según su peso en el gasto de los hogares, que se obtiene de la Encuesta de Presupuestos Familiares. Cada mes se recogen miles de precios en establecimientos de toda España y se calcula un índice de tipo Laspeyres encadenado. Junto al IPC nacional existe el IPC Armonizado (IPCA), calculado con criterios comunes en toda la Unión Europea para permitir comparaciones y servir de referencia a la política monetaria del BCE. Además del IPC, hay índices de cantidad o de volumen (miden la evolución de las cantidades a precios constantes) e índices de valor (que combinan variaciones de precios y de cantidades), de modo que un índice de valor equivale, aproximadamente, al producto de un índice de precios por uno de cantidad.

Ejemplo (índice de Laspeyres). Una cesta tiene dos bienes. Bien A: precio base 2 €, cantidad base 10; bien B: precio base 5 €, cantidad base 4. En el año actual, A cuesta 3 € y B, 6 €. El índice de Laspeyres es [Σ(p_t·q₀) / Σ(p₀·q₀)] × 100 = [(3·10 + 6·4) / (2·10 + 5·4)] × 100 = (54/40) × 100 = 135: los precios de la cesta han subido, en conjunto, un 35 %. El índice de Paasche haría el mismo cálculo pero ponderando con las cantidades del año actual; el índice de Fisher es la media geométrica de ambos y corrige sus sesgos.

Los números índices, y en particular el IPC, tienen aplicaciones prácticas de gran alcance: se emplean para actualizar rentas, alquileres, pensiones o salarios (las cláusulas de revisión suelen referenciarse al IPC), para deflactar series económicas y para comparar la evolución de precios entre países o sectores. El INE revisa periódicamente la composición de la cesta y el año base del IPC para que siga siendo representativo de los hábitos de consumo; cuando se cambia la base, los índices antiguos deben enlazarse con los nuevos para mantener la continuidad de la serie. Conviene, por último, interpretar los índices con cuidado: una subida del índice general puede ocultar comportamientos muy dispares en sus componentes (energía, alimentos, servicios), por lo que suele analizarse también la inflación subyacente, que excluye los elementos más volátiles.

7. Conclusiones

La estadística descriptiva proporciona las herramientas para resumir y comprender conjuntos de datos: las medidas de posición, dispersión y forma los sintetizan numéricamente; los gráficos los hacen visibles; la regresión y la correlación analizan la relación entre variables y permiten predecir; y los números índices miden su evolución. Todo ello es imprescindible para el análisis económico y para la gestión empresarial, donde las decisiones deben apoyarse en datos.

La estadística ha cobrado, además, una relevancia creciente en la era de los datos masivos (Big Data) y de la analítica de negocio: las empresas acumulan enormes volúmenes de información sobre clientes, ventas y procesos, y su capacidad para extraer valor de esos datos es hoy una ventaja competitiva de primer orden. Las técnicas descriptivas estudiadas —medidas de resumen, visualización, regresión y correlación— son la base sobre la que se asientan disciplinas más avanzadas como la minería de datos, el aprendizaje automático o los cuadros de mando (dashboards). Formar al alumnado en el manejo riguroso y crítico de los datos es, por tanto, prepararlo para una demanda laboral en pleno auge.

Para el profesorado de Administración de Empresas, estos contenidos son transversales a casi todos los módulos y muy propicios para un trabajo aplicado con hojas de cálculo. El temario continúa profundizando en el análisis de series temporales y en la inferencia estadística, que llevan estas herramientas del ámbito descriptivo al de la predicción y la generalización.

En el aula, todas estas técnicas cobran vida con una hoja de cálculo: a partir de un conjunto de datos reales (ventas, precios, resultados de una encuesta) el alumnado calcula las medidas de posición y dispersión, genera los gráficos adecuados a cada variable y ajusta una recta de regresión, comprobando con el coeficiente de correlación su capacidad predictiva. Es un aprendizaje aplicado, motivador y directamente transferible a cualquier puesto de gestión que exija interpretar datos con rigor.

8. Bibliografía y webgrafía

• Martín-Pliego, F. J.: Introducción a la Estadística Económica y Empresarial; y Peña, D.: Fundamentos de Estadística.
• Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B.: Estadística para administración y economía.
• Manuales de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de Bachillerato y de Investigación de mercados del ciclo de Marketing.
• Webgrafía: Instituto Nacional de Estadística (ine.es), en particular el IPC y la metodología de encuestas; Eurostat (ec.europa.eu/eurostat) y documentación de hojas de cálculo para el tratamiento estadístico de datos.