La inferencia estadística: población y muestra, muestreo, distribución en el muestreo y distribución binomial

Tema desarrollado siguiendo la estructura habitual de la oposición. La información es orientativa: verifica siempre el temario, la normativa y el currículo vigentes en tu convocatoria y tu comunidad autónoma.

Índice

• 0. Introducción
• 1. Relación con el currículo
• 2. La inferencia estadística: población y muestra
• 3. Los métodos de muestreo
• 4. Cálculo del muestreo aleatorio simple y estratificado
• 5. La distribución en el muestreo
• 6. Distribución de frecuencias y distribución binomial
• 7. Conclusiones
• 8. Bibliografía y webgrafía

0. Introducción

Los temas anteriores han presentado la estadística descriptiva, que resume y describe los datos de que se dispone. Pero en muchas ocasiones no es posible —ni necesario— estudiar todos los elementos de un colectivo: sería demasiado costoso encuestar a todos los consumidores o inspeccionar todas las piezas de una producción. La solución es estudiar una muestra y, a partir de ella, extraer conclusiones sobre el conjunto. De esto se ocupa la estadística inferencial.

Estudiar toda la población es un censo; estudiar una parte, un muestreo. El muestreo presenta ventajas decisivas: es mucho más económico y rápido, permite un estudio más profundo de cada elemento y, en ocasiones, es la única opción posible (cuando el análisis es destructivo —probar la resistencia de un producto hasta romperlo— no cabe examinar toda la producción). A cambio, introduce el error de muestreo, que la inferencia se encarga de acotar. Por eso, salvo poblaciones muy pequeñas, el muestreo es la técnica habitual en la investigación de mercados, las encuestas y el control de calidad.

Este tema aborda el concepto de inferencia, la distinción entre población y muestra, los métodos de muestreo (con el cálculo del aleatorio simple y del estratificado), la distribución en el muestreo y las distribuciones de probabilidad, en particular la binomial. Es un contenido cuantitativo, con fundamento en el cálculo de probabilidades, y de gran aplicación en la investigación de mercados y en el control de calidad.

1. Relación con el currículo

La inferencia y el muestreo son la base de la investigación comercial y de mercados, del control estadístico de la calidad y de los estudios de opinión, contenidos presentes en módulos de las familias de Comercio y Marketing y de Administración y Gestión. Desarrollan la competencia de diseñar muestras representativas y de interpretar los resultados con conciencia de su margen de error.

Como el resto del bloque estadístico, se presta a un tratamiento aplicado con hojas de cálculo (que incorporan funciones de números aleatorios y de las principales distribuciones) y con datos reales. Enlaza con la estadística descriptiva (temas 72 y 73) y con la toma de decisiones bajo incertidumbre.

2. La inferencia estadística: población y muestra

La inferencia estadística es la parte de la estadística que, a partir de la información de una muestra, extrae conclusiones (estimaciones y contrastes) sobre la población de la que procede, cuantificando el grado de fiabilidad de esas conclusiones. A diferencia de la estadística descriptiva, que se limita a lo observado, la inferencia da un salto de lo particular (la muestra) a lo general (la población), y ese salto solo es posible gracias al cálculo de probabilidades, que es su fundamento matemático. Por eso la inferencia siempre habla en términos de probabilidad y confianza, nunca de certeza absoluta: afirma, por ejemplo, que un parámetro está en cierto intervalo «con un 95 % de confianza», asumiendo un riesgo controlado de error. Sus conceptos clave son:

• Población: conjunto de todos los elementos objeto de estudio. Puede ser finita o infinita. Muestra: subconjunto de la población efectivamente observado. El número de elementos de la muestra es el tamaño muestral (n).
• Parámetro: una característica de la población (la media μ, la proporción P, la desviación típica σ), habitualmente desconocida. Estadístico: una característica de la muestra (la media x̄, la proporción muestral p̂), que se calcula con los datos observados y sirve para estimar el parámetro.
• Representatividad: para que las conclusiones sean válidas, la muestra debe reflejar fielmente la estructura de la población. La forma de garantizarlo es la aleatoriedad en la selección.

Al trabajar con una parte y no con el todo se comete inevitablemente un error de muestreo, que no es un fallo sino la diferencia natural entre el estadístico y el parámetro. La gran aportación de la inferencia es que ese error puede medirse y acotarse probabilísticamente, de modo que las conclusiones se acompañan siempre de un margen de error y un nivel de confianza.

La inferencia se concreta en dos grandes tareas. La estimación consiste en aproximar el valor de un parámetro desconocido: puede ser puntual (se da un único valor, el estadístico muestral) o por intervalos (se ofrece un rango de valores, el intervalo de confianza, con una probabilidad asociada). El contraste o test de hipótesis consiste en decidir, con los datos de la muestra, si se acepta o se rechaza una afirmación sobre la población (por ejemplo, «la proporción de clientes satisfechos supera el 80 %»), controlando la probabilidad de equivocarse. Ambas descansan en el conocimiento de la distribución en el muestreo.

Como la inferencia se apoya en la probabilidad, conviene recordar sus nociones básicas. Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza (lanzar un dado, extraer una pieza); el conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral, y cualquier subconjunto de él, un suceso. La probabilidad de un suceso es un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro) que mide su verosimilitud. Cuando todos los resultados son igualmente probables, se aplica la regla de Laplace: probabilidad = casos favorables / casos posibles. En otro caso, la probabilidad se aproxima por la frecuencia relativa del suceso en un gran número de repeticiones (concepción frecuentista), que es justamente lo que garantiza la ley de los grandes números. Con reglas sencillas —la suma para sucesos incompatibles y el producto para sucesos independientes— se calculan probabilidades compuestas. Este andamiaje probabilístico es el que permite cuantificar el riesgo de error de las conclusiones inferenciales.

3. Los métodos de muestreo

El muestreo es el procedimiento de selección de la muestra. Se distinguen dos grandes familias. En el muestreo no probabilístico la selección no es aleatoria (por conveniencia, por cuotas, «bola de nieve»); es más barato pero no permite calcular el error ni garantizar la representatividad. En el muestreo probabilístico o aleatorio, cada elemento tiene una probabilidad conocida de ser elegido, lo que sí permite la inferencia. Sus principales tipos son:

• Muestreo aleatorio simple (MAS): todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y las extracciones son independientes. Se realiza por sorteo o con tablas o generadores de números aleatorios. Es la base teórica de los demás.
• Muestreo sistemático: se elige un elemento cada «k» posiciones de una lista ordenada (siendo k = N/n), a partir de un primer elemento tomado al azar.
• Muestreo estratificado: la población se divide en estratos homogéneos (por edad, sexo, provincia…) y se toma una muestra aleatoria de cada uno. Mejora la representatividad cuando los estratos difieren entre sí.
• Muestreo por conglomerados: se divide la población en grupos o conglomerados (por ejemplo, centros o zonas), se seleccionan al azar algunos y se estudian todos sus elementos; reduce costes cuando la población está dispersa geográficamente.

Para poder seleccionar la muestra hace falta un marco de muestreo: la lista o el soporte que identifica a todos los elementos de la población (un censo, un padrón, una base de datos de clientes). La calidad del marco es determinante: si está incompleto o desactualizado, la muestra arrastrará un sesgo desde el origen por muy correcta que sea la selección posterior. Elegir bien el marco y el método de muestreo es, por tanto, la primera decisión de cualquier estudio.

El tamaño de la muestra se determina en función del margen de error admisible, del nivel de confianza deseado y de la variabilidad de la población: a más precisión y confianza, mayor tamaño necesario.

Es importante distinguir el error de muestreo (el inevitable, por trabajar con una parte, que se reduce ampliando la muestra) de los errores ajenos al muestreo o sesgos, que son los verdaderamente peligrosos porque no se corrigen aumentando n. Entre estos figuran el sesgo de selección (un marco de muestreo incompleto o una selección no aleatoria que deja fuera a ciertos grupos), el sesgo de no respuesta (quienes no contestan pueden diferir sistemáticamente de quienes sí lo hacen) y los errores de medición (preguntas mal formuladas, respuestas insinceras). Una muestra pequeña pero bien diseñada es preferible a una grande pero sesgada: el célebre fiasco de algunas encuestas electorales se debió no al tamaño, sino al sesgo en la selección.

El cálculo del tamaño muestral puede formalizarse. Para estimar una proporción con un margen de error e y un nivel de confianza al que corresponde un valor z, el tamaño necesario es n = z²·p·q / e². Como p y q suelen ser desconocidos de antemano, se toma el caso más desfavorable (p = q = 0,5), que exige la muestra mayor. Ejemplo. Para una encuesta con una confianza del 95 % (z ≈ 1,96) y un error máximo del 3 % (e = 0,03), el tamaño es n = 1,96² × 0,5 × 0,5 / 0,03² = 0,9604 / 0,0009 ≈ 1.068 personas. Este resultado explica por qué la mayoría de las encuestas nacionales manejan tamaños en torno a las mil o dos mil respuestas: a partir de ahí, reducir el error exige aumentar la muestra de forma cuadrática (para la mitad de error hace falta el cuádruple de muestra), lo que encarece mucho el estudio para ganancias de precisión cada vez menores.

4. Cálculo del muestreo aleatorio simple y estratificado

En el muestreo aleatorio simple, una vez fijado el tamaño n, se numeran los N elementos de la población y se extraen n números al azar (con una tabla de números aleatorios o con la función correspondiente de una hoja de cálculo), seleccionando los elementos cuyos números resulten elegidos. La extracción puede ser con reposición (un elemento puede salir más de una vez) o sin reposición (lo habitual en poblaciones finitas).

En el muestreo estratificado, además, hay que decidir cuántos elementos se toman de cada estrato. El criterio más común es la afijación proporcional: repartir la muestra entre los estratos en proporción a su peso en la población.

Ejemplo (estratificado proporcional). Una empresa tiene 1.000 empleados: 600 en producción, 300 en administración y 100 en dirección. Se quiere una muestra de n = 50 con afijación proporcional. La fracción de muestreo es 50/1.000 = 0,05 (5 %), que se aplica a cada estrato: producción 600 × 0,05 = 30; administración 300 × 0,05 = 15; dirección 100 × 0,05 = 5. La muestra (30 + 15 + 5 = 50) respeta la estructura de la plantilla, con lo que ningún grupo queda infra o sobrerrepresentado.

Existen otros criterios de afijación. La afijación simple o uniforme asigna el mismo número de elementos a cada estrato, con independencia de su tamaño; es útil cuando interesa comparar los estratos entre sí. La afijación óptima (de Neyman) tiene en cuenta, además del tamaño, la variabilidad interna de cada estrato, tomando más elementos de los estratos más heterogéneos, con lo que se minimiza el error para un tamaño de muestra dado. En la práctica, la afijación proporcional es la más sencilla y utilizada, y suele dar buenos resultados cuando los estratos no difieren mucho en su dispersión.

5. La distribución en el muestreo

Si de una misma población extraemos muchas muestras distintas del mismo tamaño, el valor de un estadístico (por ejemplo, la media muestral x̄) varía de una muestra a otra. El conjunto de todos esos posibles valores, con sus probabilidades, forma la distribución en el muestreo del estadístico. Conocerla es lo que permite hacer inferencia, porque relaciona el estadístico muestral con el parámetro poblacional.

Un buen estimador del parámetro debe reunir ciertas propiedades deseables. Debe ser insesgado (su valor esperado coincide con el parámetro, de modo que no comete errores sistemáticos por exceso o por defecto); eficiente (con la menor varianza posible, es decir, poca dispersión de una muestra a otra); consistente (se acerca al parámetro conforme aumenta el tamaño muestral); y suficiente (aprovecha toda la información de la muestra). La media muestral, por ejemplo, es un estimador insesgado, consistente y eficiente de la media poblacional, razón por la cual es el estadístico de referencia.

El resultado fundamental es el teorema central del límite: para muestras suficientemente grandes (habitualmente n ≥ 30), la distribución de la media muestral se aproxima a una distribución normal, con media igual a la de la población (μ) y desviación típica igual a σ/√n (el error estándar), cualquiera que sea la distribución de la población de partida. De aquí se deduce una idea clave: al aumentar el tamaño de la muestra, el error estándar disminuye (con la raíz de n), es decir, las estimaciones son más precisas. Sobre esta distribución se construyen los intervalos de confianza (rango en el que se estima que está el parámetro, con una probabilidad dada) y los contrastes de hipótesis, que son las dos grandes herramientas de la inferencia.

Conviene precisar la lógica del intervalo de confianza. El nivel de confianza (1 − α) es la probabilidad de que el intervalo construido contenga el verdadero parámetro; su complementario, α, es el nivel de significación o riesgo que se asume de errar. Para la media, el intervalo es x̄ ± z · (σ/√n), donde el valor crítico z depende del nivel de confianza elegido: 1,645 para el 90 %, 1,96 para el 95 % y 2,576 para el 99 %. Se observa un compromiso ineludible: a mayor confianza, más ancho (y menos preciso) es el intervalo; para ganar confianza y precisión a la vez, la única vía es aumentar el tamaño de la muestra. Interpretar bien un intervalo es importante: «el 95 % de confianza» no significa que el parámetro tenga un 95 % de probabilidad de estar en ese intervalo concreto, sino que, de cada 100 muestras, en torno a 95 producirían intervalos que contendrían el verdadero valor.

Ejemplo (estimación de una proporción). En una encuesta a n = 400 clientes, 240 se declaran satisfechos, lo que da una proporción muestral p̂ = 240/400 = 0,60 (60 %). El error estándar de la proporción es √(p̂·q̂/n) = √(0,6·0,4/400) = √0,0006 ≈ 0,0245. Para un nivel de confianza del 95 % (al que corresponde un valor z ≈ 1,96), el margen de error es 1,96 × 0,0245 ≈ 0,048 (unos 4,8 puntos), y el intervalo de confianza para la proporción de clientes satisfechos de toda la población es 0,60 ± 0,048, es decir, aproximadamente entre el 55,2 % y el 64,8 %. Este es el tipo de resultado —«el 60 % está satisfecho, con un margen de ±4,8 puntos y una confianza del 95 %»— que aparece en las fichas técnicas de cualquier estudio de mercado o encuesta seria.

La otra gran herramienta, el contraste de hipótesis, sirve para tomar decisiones sobre la población. Se formulan dos hipótesis contrapuestas: la hipótesis nula (H₀), que suele expresar la ausencia de efecto o el statu quo (por ejemplo, «la proporción de defectuosos es del 5 %»), y la hipótesis alternativa (H₁), que es la que se quiere probar. Con los datos de la muestra se calcula un estadístico de contraste y se decide si hay evidencia suficiente para rechazar H₀. Al decidir se pueden cometer dos errores: el error de tipo I (rechazar H₀ siendo verdadera), cuya probabilidad es el nivel de significación α (típicamente 0,05), y el error de tipo II (no rechazar H₀ siendo falsa), de probabilidad β. Reducir uno tiende a aumentar el otro, por lo que hay que buscar un equilibrio. Hoy es habitual apoyar la decisión en el p-valor: si es menor que α, se rechaza H₀. Estos contrastes son la base del control de calidad, de los tests A/B en marketing y de la validación de cualquier hipótesis empresarial con datos.

6. Distribución de frecuencias y distribución binomial

Una distribución de frecuencias describe cómo se reparten, en los datos observados, los valores de una variable (frecuencias absolutas y relativas). Cuando pasamos del terreno observado al de la probabilidad, hablamos de distribución de probabilidad: el modelo teórico que asigna a cada valor de una variable aleatoria su probabilidad. La frecuencia relativa observada es la aproximación empírica de la probabilidad teórica (ley de los grandes números).

El concepto que articula todo esto es el de variable aleatoria: una función que asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio (por ejemplo, el número de caras al lanzar tres monedas, o el número de clientes que compran). Es discreta si toma valores aislados —y se describe con su función de probabilidad, que asigna una probabilidad a cada valor— y continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo —descrita entonces por una función de densidad, en la que las probabilidades se corresponden con áreas—. Una medida fundamental es la esperanza matemática o valor esperado, E(X) = Σ x_i·p_i, que es la media teórica de la variable, el valor que cabría esperar como promedio a la larga; junto a ella, la varianza mide su dispersión. La esperanza es clave en la toma de decisiones bajo incertidumbre: por ejemplo, para valorar si conviene lanzar un producto se calcula el beneficio esperado ponderando cada escenario por su probabilidad.

Entre las distribuciones de probabilidad discretas, la más importante es la distribución binomial, que modela el número de éxitos en n pruebas independientes, cada una con solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) y con una probabilidad de éxito constante p (siendo q = 1 − p la de fracaso). Se denota B(n, p). Su función de probabilidad es:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^n−k

donde C(n, k) es el número combinatorio «n sobre k» (las formas de elegir k éxitos entre n pruebas). Su media (valor esperado) es μ = n·p y su varianza, σ² = n·p·q.

Ejemplo. En un proceso, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es p = 0,2. Si se toman n = 5 piezas, la probabilidad de que exactamente una sea defectuosa es P(X = 1) = C(5, 1) · 0,2¹ · 0,8⁴ = 5 · 0,2 · 0,4096 = 0,4096 (40,96 %). El número esperado de defectuosas es μ = 5 · 0,2 = 1 pieza, con una varianza de σ² = 5 · 0,2 · 0,8 = 0,8. A menudo interesa una probabilidad acumulada: la probabilidad de que haya al menos una defectuosa se calcula cómodamente por el suceso contrario, P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8⁵ = 1 − 0,3277 = 0,6723 (67,23 %). Cuando n es grande, la binomial puede aproximarse por la distribución normal, lo que enlaza con el teorema central del límite y facilita los cálculos.

La binomial tiene algunas propiedades útiles. Su forma depende de p: es simétrica cuando p = 0,5 y asimétrica en los demás casos (con cola hacia la derecha si p < 0,5). La suma de dos variables binomiales independientes con la misma p es de nuevo binomial (con la suma de los tamaños). Y admite dos aproximaciones muy prácticas: cuando n es grande y p pequeña (sucesos raros), se aproxima por la distribución de Poisson de parámetro λ = n·p; y cuando n·p y n·q son ambos mayores que 5, se aproxima por la normal de media n·p y desviación típica √(n·p·q), lo que evita cálculos combinatorios engorrosos (aplicando, en su caso, una pequeña «corrección de continuidad»). Estas aproximaciones fueron esenciales antes de la informática y siguen siendo útiles para comprender el parentesco entre las distribuciones.

La binomial no es la única distribución de probabilidad relevante. Entre las discretas, la distribución de Poisson modela el número de sucesos raros en un intervalo de tiempo o espacio (llegadas de clientes a una cola, averías de una máquina) y puede verse como el límite de la binomial cuando n es muy grande y p muy pequeña. Entre las continuas, la reina es la distribución normal o de Gauss, con su característica forma de campana simétrica en torno a la media; describe multitud de fenómenos naturales y económicos y, por el teorema central del límite, es la distribución a la que tienden las medias muestrales. La normal es, por ello, el pilar sobre el que se construye toda la inferencia clásica de intervalos de confianza y contrastes.

La distribución normal se caracteriza por dos parámetros, la media (μ) y la desviación típica (σ), y se denota N(μ, σ). Su curva es simétrica respecto de la media —que coincide con la mediana y la moda— y tiene forma de campana. Para calcular probabilidades se recurre a la normal estándar N(0, 1), que se obtiene tipificando cualquier valor mediante z = (x − μ)/σ; las tablas de la normal (o las funciones de la hoja de cálculo) dan la probabilidad acumulada hasta cada valor de z. Así, por ejemplo, la probabilidad de que una observación se aleje más de 1,96 desviaciones típicas de la media es solo del 5 % (2,5 % en cada cola), resultado en el que se apoya el intervalo de confianza del 95 %. La omnipresencia de la normal —en las medidas físicas, los errores, las medias muestrales o los resultados de muchos procesos— la convierte en la distribución central de toda la estadística, y su dominio es imprescindible para el análisis cuantitativo en la empresa.

Una aplicación muy directa de la binomial es el control estadístico de la calidad por atributos: para decidir si se acepta un lote de productos, se examina una muestra y se cuenta el número de unidades defectuosas; si supera un umbral fijado (el «número de aceptación»), el lote se rechaza. La distribución binomial permite calcular la probabilidad de aceptar o rechazar un lote según su porcentaje real de defectuosos, lo que fundamenta los planes de muestreo de aceptación y las tablas de calidad usadas en la industria. Es un ejemplo perfecto de cómo la inferencia y las distribuciones de probabilidad se convierten en herramientas cotidianas de gestión en la empresa.

7. Conclusiones

La inferencia estadística permite conocer una población estudiando solo una muestra, siempre que esta se seleccione con un muestreo probabilístico (aleatorio simple, sistemático, estratificado o por conglomerados) que garantice su representatividad. La distribución en el muestreo y el teorema central del límite fundamentan la estimación y el contraste, cuantificando el error. Y las distribuciones de probabilidad, como la binomial, modelan el comportamiento de las variables aleatorias. Con ello se cierra el bloque estadístico del temario.

Para el profesorado de Administración de Empresas, estos contenidos son la base de la investigación de mercados y del control de calidad, y muy adecuados para un aprendizaje aplicado. El temario concluye con la metodología de un proyecto empresarial, que integra en la práctica muchos de los conocimientos desarrollados a lo largo del programa.

En el aula, la inferencia se comprende mejor con simulaciones sencillas: extraer repetidas muestras de una población conocida y observar cómo se distribuyen sus medias en torno a la media poblacional (una forma tangible de intuir el teorema central del límite), o calcular con la distribución binomial la probabilidad de un número de piezas defectuosas en un control de calidad. Estas experiencias muestran por qué una muestra bien seleccionada permite decidir sobre el conjunto sin necesidad de examinarlo entero.

8. Bibliografía y webgrafía

• Martín-Pliego, F. J. y Ruiz-Maya, L.: Estadística. Probabilidad e inferencia; y Peña, D.: Fundamentos de Estadística.
• Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B.: Estadística para administración y economía.
• Manuales de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de Bachillerato y de Investigación comercial del ciclo de Marketing y Publicidad.
• Webgrafía: Instituto Nacional de Estadística (ine.es), metodología de encuestas y muestreo; Centro de Investigaciones Sociológicas (cis.es), fichas técnicas de muestreo; y documentación de hojas de cálculo (funciones ALEATORIO y DISTR.BINOM).