Estadística

Tema desarrollado para preparar el primer ejercicio de conocimientos de la Escala Ejecutiva (Inspector/a) de la Policía Nacional. La información es orientativa y está verificada a la fecha de actualización frente al BOE; el contenido evaluable lo fija el temario del anexo II de tu convocatoria (Resolución de 31 de julio de 2025, BOE-A-2025-16611). Es un tema con presencia acreditada en convocatorias oficiales: han caído literalmente la definición de fenómeno aleatorio, la esperanza como valor promedio esperado, la resistencia de la mediana a los valores extremos, la varianza ambiental específica y las funciones estadísticas de la Dirección General de Coordinación y Estudios.

Índice

• 1. Concepto de estadística y campo de aplicación
  • 1.1. Qué es y en qué se divide
  • 1.2. El vocabulario que hay que dominar
  • 1.3. Tipos de variable y escalas de medida
  • 1.4. El campo de aplicación policial
• 2. Métodos fundamentales de selección de la muestra
  • 2.1. Por qué se muestrea: censo y muestra
  • 2.2. Los muestreos probabilísticos
  • 2.3. Los muestreos no probabilísticos
  • 2.4. Tamaño, error y nivel de confianza
  • 2.5. Los sesgos que arruinan una muestra
• 3. Medidas de tendencia central
  • 3.1. La media aritmética
  • 3.2. La mediana
  • 3.3. La moda
  • 3.4. Cuál se usa en cada caso
• 4. Medidas de dispersión
  • 4.1. Recorrido y recorrido intercuartílico
  • 4.2. Varianza y desviación típica
  • 4.3. El coeficiente de variación
  • 4.4. Puntuaciones típicas y regla empírica
• 5. Medidas de posición y de forma
  • 5.1. Cuartiles, deciles y centiles
  • 5.2. Asimetría y curtosis
• 6. Representaciones gráficas
  • 6.1. Para variables cualitativas
  • 6.2. Para variables cuantitativas
  • 6.3. La caja y bigotes y el tallo y hojas
  • 6.4. Series temporales, dispersión y pirámide
  • 6.5. Cómo se miente con un gráfico
• 7. Fenómenos aleatorios y probabilidad
  • 7.1. Determinista y aleatorio
  • 7.2. Las tres definiciones de probabilidad
  • 7.3. Las reglas de cálculo
  • 7.4. Probabilidad total y teorema de Bayes
  • 7.5. Las falacias que caen en examen y en juicio
• 8. Variables aleatorias: esperanza y varianza
  • 8.1. Variable aleatoria y distribución
  • 8.2. La esperanza matemática
  • 8.3. La varianza de una variable aleatoria
  • 8.4. Binomial, Poisson y normal
  • 8.5. Grandes números y teorema central del límite
• 9. La descomposición de la varianza y la relación entre variables
  • 9.1. Varianza intergrupo e intragrupo
  • 9.2. La varianza fenotípica
  • 9.3. Correlación y regresión
• 10. Del dato a la decisión: el contraste de hipótesis
  • 10.1. Hipótesis nula, p-valor y significación
  • 10.2. Los dos errores y la potencia
• 11. La estadística de la criminalidad en España
  • 11.1. El marco legal de la función estadística
  • 11.2. La Dirección General de Coordinación y Estudios
  • 11.3. Qué se cuenta y cómo se mide
  • 11.4. La cifra negra y la victimización
  • 11.5. Las trampas de una serie de criminalidad
• 12. Estudios estadísticos sobre la prevención de la delincuencia
  • 12.1. La ley de concentración del delito
  • 12.2. Los experimentos que cambiaron la doctrina
  • 12.3. Medir la calidad de la evidencia
  • 12.4. La predicción estadística del riesgo
  • 12.5. Regresión a la media y desplazamiento
• 13. Diez claves para el examen

1. Concepto de estadística y campo de aplicación

1.1. Qué es y en qué se divide

La estadística es la ciencia que se ocupa de recoger, organizar, describir, analizar e interpretar datos con el fin de extraer conclusiones y ayudar a tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. No es una rama de las matemáticas dedicada a hacer cuentas: es el instrumento con el que una disciplina empírica convierte observaciones dispersas en conocimiento con un margen de error conocido. Esa última coletilla es la importante: la estadística no elimina la incertidumbre, la cuantifica.

Se divide tradicionalmente en dos grandes bloques, y la distinción entra en examen con mucha frecuencia:

• Estadística descriptiva. Resume y presenta la información del conjunto observado, sin pretender ir más allá de él. Cuando se dice que la edad media de los detenidos por un delito en una comisaría durante un año ha sido de 31 años, se está describiendo ese conjunto: no se afirma nada sobre los detenidos del año siguiente ni sobre los de otra comisaría. Sus herramientas son las tablas de frecuencias, las medidas de tendencia central y de dispersión y los gráficos.
• Estadística inferencial. Va del subconjunto observado al conjunto entero: a partir de una muestra estima parámetros de la población y contrasta hipótesis, siempre con una probabilidad de error asociada. Es la que permite decir «el 34 % de la población, con un margen de ±3 puntos y una confianza del 95 %, declara haber sido víctima de un hurto». Su fundamento es el cálculo de probabilidades, y por eso los fenómenos aleatorios y la probabilidad forman parte de este mismo tema.

Suele añadirse un tercer bloque, la estadística exploratoria (el análisis exploratorio de datos de Tukey), que busca patrones en los datos antes de formular hipótesis, con instrumentos gráficos como el diagrama de caja y el de tallo y hojas, ambos invención suya.

1.2. El vocabulario que hay que dominar

Media docena de términos se confunden sistemáticamente y su definición es materia de pregunta directa:

Término	Qué es
Población o universo	El conjunto completo de elementos sobre los que se quiere concluir. Puede ser finita (los policías nacionales en activo) o infinita a efectos prácticos.
Unidad estadística	Cada uno de los elementos de la población: una persona, un hecho delictivo, un vehículo, un municipio. Definirla mal es el primer error de un estudio.
Muestra	El subconjunto de la población efectivamente observado. Solo sirve para inferir si es representativa.
Marco muestral	La lista o soporte del que se extrae la muestra (un padrón, un fichero, un listado telefónico). Si el marco no cubre a toda la población, aparece el sesgo de cobertura.
Variable	La característica que se mide y que varía de una unidad a otra: edad, sexo, tipo de delito, distancia al domicilio.
Parámetro	Un valor que resume a la población. Se desconoce y se representa con letras griegas: μ (media), σ (desviación típica), π (proporción).
Estadístico o estimador	El valor análogo calculado sobre la muestra, que se usa para estimar el parámetro. Se representa con letras latinas: la media muestral, s, p.

La pareja parámetro-estadístico es la que más se pregunta: el parámetro es de la población y el estadístico es de la muestra. Y hay una consecuencia práctica: como el estadístico cambia con cada muestra que se extraiga, tiene su propia distribución —la distribución muestral—, y de la anchura de esa distribución sale el margen de error.

Conviene también distinguir la frecuencia absoluta (número de veces que aparece un valor) de la relativa (esa cifra dividida entre el total, que se expresa en tanto por uno o en porcentaje), y ambas de sus versiones acumuladas, que suman todo lo anterior y son la base de la ojiva y de los cuantiles.

1.3. Tipos de variable y escalas de medida

Qué operaciones se pueden hacer con un dato no depende de que el dato esté escrito con números, sino de la escala de medida con la que se ha obtenido. La clasificación canónica es la que Stanley Smith Stevens publicó en Science en 1946 bajo el título On the Theory of Scales of Measurement, con cuatro niveles de menor a mayor información:

Escala	Qué permite	Ejemplo policial	Estadísticos admisibles
Nominal	Solo clasificar en categorías sin orden	Tipo de delito, nacionalidad, distrito	Moda, frecuencias, chi-cuadrado
Ordinal	Clasificar y ordenar, pero sin distancias iguales	Nivel de riesgo VioGén, grado de satisfacción	Moda, mediana, cuantiles, correlación de Spearman
De intervalo	Ordenar con distancias iguales, pero con cero arbitrario	Temperatura en grados, puntuación de un test tipificada	Los anteriores más media, desviación típica, correlación de Pearson
De razón	Todo lo anterior más un cero absoluto	Edad, número de denuncias, importe sustraído, distancia	Todos, incluidos cocientes («el doble de»)

La consecuencia práctica es dura y se pregunta: en una escala nominal no tiene sentido calcular una media. Si se codifica el tipo de delito como 1 = robo, 2 = hurto, 3 = lesiones, la «media 1,8» no significa nada. Y en una escala de intervalo no se pueden hacer cocientes: 20 grados no son «el doble de calor» que 10, porque el cero de la escala Celsius es convencional. Solo la escala de razón admite decir «el doble».

Con otro criterio, las variables se dividen en cualitativas (nominales y ordinales, también llamadas categóricas o atributos) y cuantitativas (de intervalo y de razón), y estas últimas en discretas, que solo toman valores aislados y en general enteros —número de detenciones, número de hijos—, y continuas, que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo —peso, tiempo de respuesta, distancia—, con la única limitación de la precisión del instrumento.

1.4. El campo de aplicación policial

El campo de aplicación de la estadística es prácticamente universal: no hay ciencia empírica que prescinda de ella. En el trabajo policial, un inspector la usa —lo sepa o no— al menos en seis frentes:

1. Conocer el problema: cuántos hechos, de qué tipo, dónde, cuándo y contra quién. Es el diagnóstico previo a cualquier plan operativo.
2. Distribuir recursos: cuadrantes de servicio, refuerzos por franja horaria, despliegue por sectores. Un turno mal dimensionado es, casi siempre, un problema estadístico mal resuelto.
3. Evaluar lo que se hace: saber si un dispositivo ha reducido de verdad los robos o si la bajada era esperable de todos modos.
4. Valorar el riesgo individual: los instrumentos actuariales de violencia de género y de reincidencia son, en su núcleo, modelos estadísticos.
5. Sustentar la prueba: la estadística forense —perfiles de ADN, análisis de trazas, cotejo balístico— habla en razones de verosimilitud, y su mala lectura ha producido errores judiciales célebres.
6. Rendir cuentas: la publicación periódica de datos de criminalidad es un mecanismo de transparencia y de control democrático de la actividad policial.

2. Métodos fundamentales de selección de la muestra

2.1. Por qué se muestrea: censo y muestra

Se llama censo al estudio que observa a todas las unidades de la población, y muestreo al que observa solo a una parte. El censo parece siempre mejor, pero no lo es: además de costar mucho más, cuando la población es grande obliga a un despliegue tan enorme que multiplica los errores ajenos al muestreo —entrevistadores mal formados, datos mal grabados, unidades no localizadas—. Una muestra bien diseñada de mil personas puede describir mejor a un país que un censo mal ejecutado.

El muestreo se justifica por economía, rapidez, viabilidad —hay poblaciones inabarcables o pruebas destructivas— y calidad, por lo que se acaba de decir. Su precio es el error de muestreo: la diferencia entre lo que dice la muestra y lo que diría la población entera. Ese error es inevitable, pero, si la selección ha sido aleatoria, es calculable, y ahí está toda la diferencia.

De ahí la gran división: muestreo probabilístico, en el que cada unidad tiene una probabilidad conocida y no nula de ser elegida, y muestreo no probabilístico, en el que no. Solo el primero permite calcular el error y, por tanto, hacer inferencia con garantías. Esta frase es de las que se preguntan tal cual.

2.2. Los muestreos probabilísticos

a) Muestreo aleatorio simple (MAS). Todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas y toda combinación de n unidades es igual de probable. Es el modelo teórico de referencia, del que se derivan las fórmulas de error de los demás. Se ejecuta sorteando de una lista numerada con números aleatorios. Exige un marco completo de la población, que es justo lo que casi nunca se tiene, y con poblaciones dispersas resulta carísimo de recorrer. Puede hacerse con reposición —la unidad extraída vuelve a la urna y puede repetirse— o sin reposición, que es lo habitual y algo más preciso.

b) Muestreo sistemático. Se ordena la población, se calcula el coeficiente de elevación k dividiendo el tamaño de la población entre el de la muestra, se elige al azar un arranque entre 1 y k y a partir de ahí se toma una unidad cada k. Es rápido, cómodo en campo y reparte la muestra por toda la lista. Su peligro es específico y hay que saberlo: si la lista tiene una periodicidad que coincide con k, la muestra queda sesgada —el ejemplo clásico es tomar un turno cada siete días, con lo que se acaba observando siempre el mismo día de la semana—.

c) Muestreo estratificado. La población se divide en estratos internamente homogéneos y distintos entre sí (por sexo, edad, provincia, tamaño de municipio) y dentro de cada uno se extrae una muestra aleatoria. Garantiza la presencia de todos los grupos, permite dar resultados por estrato y, cuando la variable de estratificación se relaciona con lo que se estudia, es más preciso que el MAS con el mismo tamaño. El reparto del total entre estratos se llama afijación:

• Afijación simple o igual: el mismo número de unidades a cada estrato, sin mirar su tamaño. Favorece a los estratos pequeños, que así son analizables por separado.
• Afijación proporcional: cada estrato recibe unidades en proporción a su peso en la población. Es la más usada y la que reproduce la estructura del universo.
• Afijación óptima (de Neyman): se tiene en cuenta el peso del estrato y también su variabilidad interna, de modo que los estratos más heterogéneos reciben más muestra. Minimiza el error para un coste dado.

d) Muestreo por conglomerados (o por racimos, cluster). Se divide la población en grupos ya existentes en la realidad —comisarías, aulas, manzanas, edificios— y se sortean grupos enteros, estudiando a todos sus miembros. Aquí la lógica se invierte respecto al estratificado, y esta es la confusión que más se explota en examen:

	Estratificado	Conglomerados
Los grupos son…	Homogéneos dentro, heterogéneos entre sí	Heterogéneos dentro, parecidos entre sí
Se seleccionan…	Unidades dentro de todos los estratos	Grupos completos, y no todos
Ventaja	Más precisión	Menos coste; no exige listado de toda la población
Inconveniente	Exige conocer la variable de estratificación	Mayor error para el mismo tamaño

e) Muestreo polietápico. Es el que se usa realmente en las grandes encuestas: se combinan los anteriores en fases sucesivas. Por ejemplo, se estratifica por comunidad autónoma y tamaño de hábitat, dentro de cada estrato se sortean municipios (unidades de primera etapa), dentro de cada municipio se sortean secciones censales (segunda etapa) y dentro de cada sección se seleccionan hogares y, dentro del hogar, la persona a entrevistar, a menudo por cuotas de sexo y edad. Es un diseño probabilístico, pero su error real es mayor que el del MAS: la razón entre ambos se llama efecto de diseño.

2.3. Los muestreos no probabilísticos

En ellos la selección depende del criterio del investigador o de la accesibilidad de las unidades, de modo que no puede calcularse el error muestral ni, en rigor, generalizarse el resultado. No son necesariamente malos: son la única vía para poblaciones ocultas y son perfectamente legítimos en investigación cualitativa y exploratoria, siempre que no se presenten como lo que no son.

• De conveniencia o casual: se toma lo que está a mano. Los que pasan por la calle, los alumnos de la clase, quienes responden a un formulario colgado en internet. Es el más débil, y detrás de él está el sesgo de autoselección.
• Por cuotas: se fija de antemano cuántas unidades de cada perfil hay que conseguir (tantas mujeres de 30 a 44 años, tantos varones mayores de 65) y el entrevistador las completa como puede. Se parece al estratificado en el resultado, pero el último paso no es aleatorio, y por eso es no probabilístico. Es el más usado en estudios de mercado y de opinión.
• Intencional, opinático o de juicio: el investigador elige los casos por su valor informativo —los expertos de un panel Delphi, los casos extremos, los casos típicos—.
• Bola de nieve (snowball): cada sujeto localizado facilita el contacto con otros. Es la técnica de referencia para poblaciones ocultas o de difícil acceso: consumidores de drogas, víctimas que no denuncian, personas en situación irregular, miembros de grupos cerrados. A cambio, sobrerrepresenta a los mejor conectados.

2.4. Tamaño, error y nivel de confianza

Tres magnitudes se juegan a la vez y hay que tener clarísima la dirección de cada relación:

• El error muestral (o margen de error) es la horquilla dentro de la cual se espera que esté el valor real: «±3 puntos porcentuales».
• El nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo construido contenga al parámetro; se trabaja habitualmente al 95 % (que corresponde a un valor de 1,96 en la distribución normal) y, cuando se exige más seguridad, al 99 % (2,58).
• La varianza de la población: cuanto más dispersa es, más muestra hace falta. Cuando se desconoce, en el caso de una proporción se toma el peor escenario posible, p = q = 0,5, que es el que maximiza la varianza.

Las relaciones que se preguntan son estas: a mayor tamaño de muestra, menor error; a mayor nivel de confianza exigido, mayor tamaño necesario; y a mayor variabilidad de la población, mayor tamaño necesario. Además, el error disminuye con la raíz cuadrada del tamaño, no con el tamaño: para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. Es la razón económica por la que casi ninguna encuesta baja del ±3 %.

Hay un resultado que sorprende y que se pregunta: en poblaciones grandes, lo que determina la precisión es el tamaño absoluto de la muestra, no la fracción que representa sobre la población. Mil entrevistas dan prácticamente la misma precisión en una ciudad de cien mil habitantes que en un país de cincuenta millones. Solo cuando la muestra supone una parte apreciable de la población (más de un 5 %) entra en juego el factor de corrección para poblaciones finitas, que reduce el error.

Una cuestión que ha caído literalmente en la Escala Ejecutiva conecta muestreo y calidad del instrumento: la confiabilidad —el grado en que la aplicación repetida produce iguales resultados— se relaciona con el tamaño de la muestra de forma directamente proporcional: a más casos, más estable es el resultado y más confianza merece.

2.5. Los sesgos que arruinan una muestra

El error de muestreo es el ruido inevitable del azar y se reduce ampliando la muestra. El sesgo es otra cosa: es un error sistemático, siempre en la misma dirección, y no se corrige aumentando el tamaño —una muestra sesgada más grande es una muestra sesgada más grande—. Los principales:

• Sesgo de cobertura: el marco no incluye a toda la población. El caso histórico es el del Literary Digest, que en 1936 envió diez millones de papeletas a listas de propietarios de teléfono y automóvil —es decir, a las clases acomodadas—, recibió unos 2,4 millones de respuestas y pronosticó con ellas la victoria de Landon por tres a dos. Roosevelt ganó con el 62 % del voto popular. Gallup acertó ese mismo año con una muestra bien seleccionada de unas tres mil personas. Moraleja: el tamaño no salva de la mala selección. Y una segunda lección que suele olvidarse: al sesgo de cobertura se sumó el de no respuesta, porque los partidarios de Landon devolvieron la papeleta en mayor proporción. Los dos sesgos se acumularon.
• Sesgo de no respuesta: quienes no contestan se diferencian sistemáticamente de quienes sí lo hacen. Es hoy el problema más serio de la investigación por encuesta.
• Sesgo de autoselección: participa quien quiere, y quiere el que tiene una opinión intensa. Las encuestas abiertas en internet lo sufren por definición.
• Sesgo del superviviente: solo se observa lo que ha llegado hasta el final del proceso. Es el error de estudiar únicamente las operaciones que acabaron en detención para saber qué funciona.

Cuando la muestra obtenida no reproduce la estructura conocida de la población, se corrige con ponderación: se da más peso a los perfiles infrarrepresentados. Es un remedio, no una cura: exige conocer bien la población de referencia y, si los pesos son muy dispares, aumenta el error real del estudio.

3. Medidas de tendencia central

Son los valores que resumen en un solo número «por dónde» está el conjunto de datos. Las tres clásicas son la media, la mediana y la moda, y lo que el examen persigue es saber cuál se comporta de qué manera.

3.1. La media aritmética

La media aritmética es la suma de todos los valores dividida entre el número de observaciones. Es la medida más utilizada y la que sirve de base a casi toda la estadística inferencial, porque tiene propiedades algebraicas muy cómodas:

• La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es siempre cero: lo que sobra por arriba compensa exactamente lo que falta por abajo.
• Es el valor que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones; ningún otro número deja un total menor. De ahí que sea el centro natural de los métodos de mínimos cuadrados.
• Si a todos los datos se les suma una constante, la media queda aumentada en esa constante; si se multiplican por una constante, la media queda multiplicada por ella.
• Usa toda la información disponible, pues en su cálculo interviene cada uno de los valores.

Y aquí está su gran defecto, que es la otra cara de esa última virtud: la media es muy sensible a los valores extremos. Un único dato disparatado la arrastra. Si en un grupo de diez personas nueve ganan 1.500 euros y la décima gana 300.000, la media supera los 31.000 euros y no describe a nadie. Es el caso de las distribuciones muy asimétricas —renta, patrimonio, importe de lo sustraído, duración de una investigación—, en las que la media informa peor que la mediana.

Junto a ella conviene conocer la media ponderada, en la que cada valor se multiplica por un peso antes de promediar —es la que se usa cuando se agregan datos de estratos de distinto tamaño o cuando cada ejercicio de una oposición vale distinto—; la media geométrica, apropiada para promediar tasas de variación o índices de crecimiento; y la media armónica, adecuada para promediar velocidades y, en general, magnitudes expresadas como cocientes. De las tres, para un mismo conjunto de datos positivos se cumple siempre que la armónica es menor o igual que la geométrica y esta menor o igual que la aritmética.

3.2. La mediana

La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan de menor a mayor: deja por debajo al 50 % de las observaciones y por encima al otro 50 %. Si el número de datos es impar, es el valor central; si es par, se toma la media de los dos centrales.

Su propiedad decisiva, y la que ha caído literalmente en la Escala Ejecutiva, es que a la mediana no le afectan los valores extremos. Solo depende de cuántos datos hay a cada lado, no de cuánto valen. En el ejemplo de los diez sueldos, la mediana sigue siendo 1.500 euros por más que el décimo gane 300.000 o tres millones. Por eso se dice que es una medida robusta, y por eso los organismos oficiales publican la renta mediana del hogar y no solo la media.

Se le atribuyen dos propiedades más que se preguntan: es la única medida de tendencia central calculable en variables ordinales (además de la moda) y es el valor que minimiza la suma de las distancias absolutas a todos los datos.

3.3. La moda

La moda es el valor que más veces se repite, el de mayor frecuencia. Es la única medida de tendencia central que puede calcularse en variables cualitativas nominales: en un conjunto de denuncias, el «delito modal» es el más frecuente, y ahí ni la media ni la mediana significan nada.

Tiene tres peculiaridades que conviene retener: puede no existir (si todos los valores aparecen una vez), puede no ser única (distribuciones bimodales o multimodales) y tampoco le afectan los valores extremos. Una distribución bimodal suele ser la señal de que se están mezclando dos poblaciones distintas —por ejemplo, hurtos de temporada turística y hurtos del resto del año—: detectarlo es más útil que cualquier promedio.

3.4. Cuál se usa en cada caso

Situación	Medida recomendada	Motivo
Variable nominal	Moda	Es la única con sentido
Variable ordinal	Mediana (o moda)	Hay orden, pero no distancias
Cuantitativa simétrica y sin extremos	Media	Aprovecha toda la información
Cuantitativa muy asimétrica o con outliers	Mediana	No la arrastran los valores extremos
Distribución bimodal	Ninguna sola	Hay que separar las poblaciones

En una distribución perfectamente simétrica y unimodal, las tres medidas coinciden. Cuando hay asimetría se separan, y su orden delata la dirección del sesgo: en una distribución asimétrica a la derecha (con cola larga hacia los valores altos, como la renta), la media queda por encima de la mediana y esta por encima de la moda; en la asimétrica a la izquierda, al revés. Es una regla que permite deducir la forma sin ver el gráfico.

4. Medidas de dispersión

Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media y no parecerse en nada. Tiempos de respuesta de 9, 10 y 11 minutos y tiempos de 2, 10 y 18 minutos promedian igual, pero el segundo servicio es mucho peor: es imprevisible. Las medidas de dispersión cuantifican esa variabilidad, y sin ellas ninguna medida de centralidad está bien interpretada.

4.1. Recorrido y recorrido intercuartílico

El recorrido, rango o amplitud total es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo. Es inmediato de calcular y de entender, pero utiliza solo dos datos y depende por completo de ellos, de modo que un único valor atípico lo dispara.

El recorrido intercuartílico es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, es decir, la anchura del intervalo que contiene al 50 % central de los datos. Al prescindir del 25 % inferior y del 25 % superior es una medida robusta, la compañera natural de la mediana, y el criterio habitual para marcar valores atípicos consiste precisamente en señalar los que quedan a más de 1,5 recorridos intercuartílicos de los cuartiles.

4.2. Varianza y desviación típica

La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. Se elevan al cuadrado las desviaciones por una razón elemental: como su suma sin elevar es cero, sin el cuadrado no habría nada que promediar. La varianza es siempre mayor o igual que cero, y vale cero solo si todos los datos son idénticos.

Su inconveniente es que queda expresada en unidades al cuadrado —euros al cuadrado, minutos al cuadrado—, que no significan nada. Por eso se define la desviación típica o estándar como su raíz cuadrada, que devuelve el resultado a las unidades originales y es la medida de dispersión más utilizada. Todo lo que se diga de una vale para la otra: son la misma información en dos formatos.

Sus propiedades entran en examen:

• Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza y la desviación típica no cambian: desplazar la distribución no la ensancha.
• Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por su valor absoluto y la varianza, por su cuadrado.
• Al igual que la media, ambas se ven muy afectadas por los valores extremos, y más aún, porque las desviaciones van al cuadrado.

Una precisión que distingue al que sabe: cuando se calcula sobre una muestra para estimar la varianza de la población, se divide entre el número de casos menos uno (la llamada cuasivarianza), porque dividir entre el número de casos subestima sistemáticamente la variabilidad real. Ese «menos uno» son los grados de libertad.

4.3. El coeficiente de variación

La desviación típica no permite comparar la dispersión de conjuntos medidos en unidades distintas, ni de conjuntos con medias muy diferentes. El coeficiente de variación de Pearson resuelve el problema: es el cociente entre la desviación típica y la media, habitualmente expresado en porcentaje. Al ser un número adimensional, permite comparar la variabilidad del peso con la de la estatura, o la de los tiempos de respuesta de dos plantillas de tamaño muy distinto. La regla de lectura es directa: a mayor coeficiente de variación, mayor dispersión relativa y menos representativa es la media. Su limitación: no debe usarse cuando la media está próxima a cero, porque se dispara, ni cuando la variable puede tomar valores negativos.

4.4. Puntuaciones típicas y regla empírica

La puntuación típica o z de un dato es su desviación respecto de la media dividida entre la desviación típica. Expresa a cuántas desviaciones típicas está el dato de su media, y por eso permite comparar posiciones entre distribuciones distintas: un 7 en un examen fácil puede valer menos que un 5 en uno difícil. El conjunto de puntuaciones z tiene siempre media cero y desviación típica uno; una z positiva indica que el dato está por encima de la media y una negativa, por debajo. Esta es la operación que hay detrás de los baremos de los test psicotécnicos.

Cuando la distribución es normal, las puntuaciones z se traducen directamente a porcentajes mediante la regla empírica, que hay que llevar memorizada:

• Entre la media y ±1 desviación típica se encuentra aproximadamente el 68 % de los casos.
• Entre la media y ±2 desviaciones típicas, aproximadamente el 95 %.
• Entre la media y ±3 desviaciones típicas, aproximadamente el 99,7 %.

De ahí sale, por ejemplo, que en un test tipificado con media 100 y desviación 15, una puntuación de 130 deje por debajo a algo más del 97 % de la población.

5. Medidas de posición y de forma

5.1. Cuartiles, deciles y centiles

Los cuantiles son valores que dividen la distribución ordenada en partes con el mismo número de observaciones. Los más usados:

• Cuartiles: la dividen en cuatro partes iguales; hay tres (el segundo cuartil coincide con la mediana).
• Deciles: la dividen en diez partes; hay nueve.
• Centiles o percentiles: la dividen en cien partes; hay noventa y nueve.

La aritmética elemental —tres, nueve y noventa y nueve, uno menos que el número de partes— se pregunta con frecuencia. Su lectura es siempre la misma: el centil 80 es el valor que deja por debajo al 80 % de los casos. Es exactamente el lenguaje en que se informa un test psicotécnico y también aquel en que se describen los tiempos de respuesta de un servicio de emergencias, donde importa mucho más el centil 90 que la media.

5.2. Asimetría y curtosis

Dos distribuciones pueden compartir centro y dispersión y tener formas distintas. Lo miden dos coeficientes:

• La asimetría o sesgo indica hacia qué lado se estira la distribución. Si el coeficiente es cero, es simétrica; si es positivo, la cola se alarga hacia la derecha, hacia los valores altos —el patrón típico de la renta, del importe de lo sustraído y del número de antecedentes—; si es negativo, hacia la izquierda.
• La curtosis mide el apuntamiento, es decir, cuánta probabilidad se concentra en el pico y en las colas comparada con la normal. La distribución normal se toma como referencia: mesocúrtica. Una más apuntada y con colas más pesadas es leptocúrtica; una más achatada, platicúrtica. Las colas pesadas importan mucho en seguridad: son los sucesos raros de gran impacto.

6. Representaciones gráficas

Un gráfico bien elegido comunica en un segundo lo que una tabla no transmite en un minuto. La regla que gobierna la elección es sencilla: el tipo de gráfico depende del tipo de variable.

6.1. Para variables cualitativas

• Diagrama de barras: una barra por categoría, con altura proporcional a la frecuencia. Las barras van separadas, precisamente porque las categorías no son un continuo. Es el gráfico más seguro y más legible para comparar categorías.
• Diagrama de sectores o de tarta: el círculo, con sus 360 grados, representa el total, y cada sector una parte proporcional. Solo tiene sentido cuando las categorías son exhaustivas y excluyentes y suman el 100 %. Se desaconseja con muchas categorías o con proporciones parecidas, porque el ojo compara mal ángulos.
• Pictograma: sustituye las barras por dibujos. Vistoso y engañoso: si se escala el dibujo en alto y ancho a la vez, duplicar el dato cuadruplica el área percibida.
• Diagrama de Pareto: barras ordenadas de mayor a menor con la curva de porcentaje acumulado superpuesta. Es el instrumento natural para localizar los pocos factores que explican la mayoría de los casos, y por eso se usa tanto en análisis delictivo.

6.2. Para variables cuantitativas

• Histograma: para variables continuas agrupadas en intervalos. Aquí las barras van pegadas, porque los intervalos son contiguos, y lo que representa la frecuencia es el área de cada rectángulo. Cuando los intervalos tienen amplitudes distintas hay que dibujar en el eje vertical la densidad, no la frecuencia bruta, o el gráfico miente.
• Polígono de frecuencias: la línea que une los puntos medios de los techos de las barras del histograma. Sirve sobre todo para superponer dos distribuciones y compararlas.
• Ojiva o curva acumulada: representa las frecuencias acumuladas. Es una curva siempre creciente y de ella se leen gráficamente la mediana y los cuantiles.
• Diagrama de barras también para las cuantitativas discretas con pocos valores (número de detenidos por dispositivo, número de ocupantes de un vehículo).

6.3. La caja y bigotes y el tallo y hojas

El diagrama de caja y bigotes (box plot, de Tukey) es el resumen gráfico más completo en el menor espacio: la caja va del primer al tercer cuartil, la línea interior marca la mediana, los bigotes se extienden hasta los valores más alejados que no se consideren atípicos y los puntos sueltos son los valores atípicos. De un vistazo se ven centro, dispersión, asimetría y anomalías, y es insuperable para comparar varios grupos en paralelo —por ejemplo, los tiempos de respuesta de distintas unidades—.

El diagrama de tallo y hojas reparte cada dato entre una parte troncal y una final, de modo que el conjunto dibuja la forma de la distribución sin perder los valores originales, que siguen siendo legibles. Es un híbrido entre tabla y gráfico, muy útil con pocos datos.

6.4. Series temporales, dispersión y pirámide

• Gráfico de líneas o serie temporal: el tiempo en el eje horizontal y la magnitud en el vertical. Es el formato natural de la evolución de la criminalidad. Exige cuidado con la estacionalidad: comparar un mes con el anterior sin corregirla lleva a conclusiones falsas, y por eso las series de delitos se comparan con el mismo periodo del año anterior o se desestacionalizan.
• Diagrama de dispersión o nube de puntos: cada unidad es un punto con sus dos coordenadas. Es el gráfico de la relación entre dos variables cuantitativas y el paso previo obligado a cualquier correlación, porque revela relaciones no lineales que un coeficiente resumiría mal.
• Pirámide de población: dos histogramas horizontales enfrentados, por sexo y grupo de edad. Su forma delata el régimen demográfico de una sociedad.
• Cartogramas y mapas de calor: representación de la intensidad sobre un mapa. Son el instrumento cotidiano del análisis delictivo; su versión temporal, el mapa por franjas horarias, es la base de los planes de patrullaje.

6.5. Cómo se miente con un gráfico

Un gráfico correcto en sus datos puede ser falso en su mensaje. Las manipulaciones habituales, que conviene reconocer, son estas: truncar el eje vertical para que un cambio del 2 % parezca un derrumbe; elegir el punto de partida de la serie de manera interesada, empezando justo en un máximo o en un mínimo; cambiar la escala a mitad del eje; usar volúmenes en tres dimensiones, que exageran las diferencias; representar cifras absolutas donde procede la tasa, de modo que las provincias más pobladas parecen siempre las más inseguras; y comparar periodos de distinta duración. La regla defensiva es simple: mirar siempre el eje, la escala, el periodo y si lo representado son cifras absolutas o tasas.

7. Fenómenos aleatorios y probabilidad

7.1. Determinista y aleatorio

Un fenómeno determinista es aquel que, repetido en idénticas condiciones, produce siempre el mismo resultado, de modo que puede predecirse con certeza: soltar un objeto y ver que cae, calentar agua a cien grados a nivel del mar y verla hervir.

Un fenómeno aleatorio es aquel del que, aun conociendo las condiciones en que se produce, no es posible predecir el resultado concreto de una realización, aunque se conozcan todos los resultados posibles. Lanzar un dado, extraer una carta, medir cuántos accidentes habrá mañana en una carretera. Esta definición ha caído literalmente en la Escala Ejecutiva, y su distractor típico es la definición del determinista («aquel que al repetirlo en idénticas condiciones se obtiene el mismo resultado») o la del espacio muestral («aquel que reúne todos los posibles resultados»).

La segunda idea es igual de importante: lo imprevisible en una realización aislada se vuelve regular al repetirlo muchas veces. Nadie puede predecir si el próximo lanzamiento saldrá cara, pero la proporción de caras en diez mil lanzamientos se acercará mucho a la mitad. Esa regularidad de lo agregado es lo que hace posible toda la estadística: no se puede predecir qué persona sufrirá un robo, pero sí estimar bien cuántos robos habrá en un distrito el mes que viene.

El vocabulario asociado:

• Experimento aleatorio: la acción que produce el fenómeno.
• Espacio muestral: el conjunto de todos los resultados posibles.
• Suceso: cualquier subconjunto del espacio muestral. Es elemental si consta de un solo resultado y compuesto si agrupa varios. El suceso seguro es el espacio muestral entero (probabilidad 1) y el imposible, el conjunto vacío (probabilidad 0).
• Dos sucesos son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden darse a la vez, y compatibles si sí. El suceso contrario de A es el que ocurre exactamente cuando A no ocurre.

7.2. Las tres definiciones de probabilidad

La probabilidad es la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso, siempre entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %). Se ha definido de tres maneras sucesivas, y las tres se preguntan:

• Definición clásica o de Laplace: la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Exige que todos los resultados sean equiprobables, lo que solo ocurre en juegos de azar bien construidos; fuera de ahí, no es aplicable.
• Definición frecuentista (Von Mises): la probabilidad es el límite al que tiende la frecuencia relativa del suceso cuando el experimento se repite un número muy grande de veces. Es la que da sentido a hablar de la probabilidad de que un vehículo sea sustraído en cierta zona, donde no hay simetría alguna que invocar. Exige poder repetir el experimento.
• Definición axiomática (Kolmogorov, 1933): la probabilidad es una función que asigna a cada suceso un número cumpliendo tres axiomas: es no negativa, la del suceso seguro vale 1, y la de la unión de sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades. De ahí se deduce todo lo demás, y es la formulación matemáticamente rigurosa.

Se añade a menudo la probabilidad subjetiva o bayesiana: el grado de creencia razonable de un sujeto en que ocurra un suceso, que se actualiza cuando llega nueva información. Es la lectura natural cuando el suceso no es repetible («la probabilidad de que este sospechoso reincida»).

7.3. Las reglas de cálculo

• Complementario: la probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra. Es el atajo de casi todos los problemas que empiezan por «al menos uno».
• Suma: para sucesos incompatibles, la probabilidad de que ocurra uno u otro es la suma de las suyas. Si son compatibles, hay que restar la probabilidad de la intersección, o se contaría dos veces la parte común.
• Producto: la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es la del primero por la del segundo condicionada al primero. Si son independientes, se reduce al producto de ambas.
• Probabilidad condicionada: la de A sabiendo que ha ocurrido B es la probabilidad de que ocurran los dos dividida entre la de B. Equivale a reducir el espacio muestral a los casos en que B se ha dado.
• Independencia: dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro. Ojo: independiente no es lo mismo que incompatible. De hecho, dos sucesos incompatibles de probabilidad no nula son necesariamente dependientes, porque saber que ha ocurrido uno reduce a cero la probabilidad del otro.

7.4. Probabilidad total y teorema de Bayes

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso descomponiéndolo por las distintas vías que llevan a él: se suman las probabilidades de cada camino, multiplicando la de la causa por la del suceso dado esa causa. Es la manera de agregar el riesgo cuando la población está dividida en grupos con riesgos distintos.

El teorema de Bayes hace el camino inverso: conocido el resultado, calcula la probabilidad de cada una de las causas. Formalmente, la probabilidad de la causa dada la evidencia es proporcional a la probabilidad de la evidencia dada la causa multiplicada por la probabilidad inicial de esa causa. Su vocabulario —probabilidad a priori, verosimilitud y probabilidad a posteriori— es el lenguaje de la valoración de la prueba científica.

Su aplicación policial es directa y enlaza con la sensibilidad y la especificidad del tema anterior. Supóngase una prueba de detección con una sensibilidad del 99 % y una especificidad del 99 % aplicada a una población en la que solo uno de cada diez mil individuos presenta la característica buscada. Sobre un millón de personas, se detectaría prácticamente a los cien que la tienen, pero también se marcaría por error a unas diez mil que no. De los algo más de diez mil marcados, menos del 1 % lo sería correctamente. La prueba es excelente y aun así casi todos sus positivos son falsos, porque la prevalencia es bajísima. Esta es la razón estadística por la que ningún cribado masivo se aplica como prueba única y por la que un indicio se valora siempre junto con la probabilidad previa.

7.5. Las falacias que caen en examen y en juicio

• Falacia del jugador: creer que, tras una racha, el resultado contrario «se debe». La ruleta no tiene memoria: en sucesos independientes, lo ocurrido no altera la probabilidad de lo que viene.
• Falacia de la tasa base: ignorar la frecuencia previa del fenómeno al interpretar un resultado, que es exactamente el error del ejemplo anterior.
• Falacia del fiscal: confundir la probabilidad de observar la evidencia si el sospechoso es inocente con la probabilidad de que sea inocente dada la evidencia. Son dos condicionadas invertidas y pueden diferir en varios órdenes de magnitud cuando la población de posibles autores es grande. Es un error documentado en errores judiciales reales, y por eso los informes periciales de ADN se redactan en términos de razón de verosimilitud y no de «probabilidad de que sea el autor».
• Ley de los números pequeños: tomar por significativo lo que ocurre en muestras diminutas, donde la variabilidad natural es enorme. Es el motivo por el que los municipios pequeños encabezan a la vez las tasas más altas y las más bajas de casi cualquier indicador.

8. Variables aleatorias: esperanza y varianza

8.1. Variable aleatoria y distribución

Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Traduce el suceso a una cifra con la que ya se puede operar: si el experimento es controlar cien vehículos, la variable aleatoria puede ser «número de conductores que dan positivo».

• Es discreta si toma un número finito o numerable de valores aislados. Su comportamiento se describe con la función de probabilidad, que asigna a cada valor su probabilidad; todas ellas son no negativas y suman 1.
• Es continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo. Aquí la probabilidad de un valor exacto es cero, y lo que tiene sentido es la probabilidad de caer en un intervalo, que se corresponde con el área bajo la función de densidad. El área total bajo la curva vale 1.

En ambos casos, la función de distribución acumula: da la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que uno dado. Es siempre creciente, arranca en 0 y termina en 1.

8.2. La esperanza matemática

La esperanza matemática, valor esperado o media de una variable aleatoria es la suma de cada valor posible multiplicado por su probabilidad. Su interpretación es la que ha caído literalmente en la Escala Ejecutiva: es el valor promedio que cabe esperar si el experimento aleatorio se repite muchísimas veces. Es, por tanto, el análogo teórico de la media aritmética, y no debe confundirse con la varianza —que mide dispersión— ni con la desviación típica.

Dos advertencias que se explotan en pregunta:

• La esperanza no tiene por qué ser un valor posible de la variable. La esperanza del número de caras al lanzar tres monedas es 1,5, que nunca saldrá; la media de hijos por hogar tampoco es un hogar real.
• No es lo que va a pasar la próxima vez, sino el promedio a largo plazo. Un juego con esperanza negativa arruina a quien lo repite, aunque cualquier partida concreta pueda ganarse.

Sus propiedades son cómodas: la esperanza de una constante es esa constante; la de una variable multiplicada por una constante es la constante por la esperanza; y la esperanza de una suma es la suma de las esperanzas, sin necesidad de que las variables sean independientes. Un juego se llama equitativo cuando la esperanza de la ganancia es cero; en los juegos de azar comerciales es siempre negativa para el jugador, y esa diferencia es el margen de la casa.

8.3. La varianza de una variable aleatoria

La varianza de una variable aleatoria es la esperanza de los cuadrados de las desviaciones respecto de su esperanza: mide cuánto se separan de media los resultados del valor esperado. Su raíz cuadrada es la desviación típica. Con la esperanza y la varianza queda caracterizado lo esencial de una distribución: dónde está centrada y cómo de dispersa es.

Sus propiedades reproducen las de la varianza descriptiva y se preguntan igual: sumar una constante no altera la varianza; multiplicar por una constante la multiplica por el cuadrado de esa constante; y la varianza de la suma de variables independientes es la suma de las varianzas —aquí la independencia sí es necesaria, a diferencia de lo que ocurría con la esperanza—. Una consecuencia práctica importante: al promediar n observaciones independientes, la varianza de la media queda dividida entre n, y su desviación típica —el error típico— entre la raíz de n. Ahí está, otra vez, por qué el error cae con la raíz del tamaño muestral.

8.4. Binomial, Poisson y normal

Tres modelos concentran casi todas las aplicaciones y sus condiciones de uso son materia de examen:

Distribución	Cuándo se aplica	Esperanza y varianza	Ejemplo
Binomial	Número de éxitos en un número fijo de pruebas independientes, cada una con dos resultados y la misma probabilidad de éxito	Esperanza: número de pruebas por probabilidad de éxito	Positivos en 100 controles de alcoholemia
Poisson	Número de sucesos raros en un intervalo fijo de tiempo o espacio, con ocurrencia independiente	Esperanza y varianza coinciden y valen lo mismo	Llamadas al 091 por hora; accidentes en un tramo
Normal o de Gauss	Variables continuas resultantes de muchas causas pequeñas e independientes	Definida justamente por su media y su desviación típica	Estatura, errores de medida, puntuaciones de test

La distribución normal merece detalle porque es la reina de la inferencia. Es simétrica respecto de su media, tiene forma de campana, y en ella media, mediana y moda coinciden. Se extiende indefinidamente a ambos lados sin llegar a tocar el eje, el área total bajo la curva vale 1 y su forma queda completamente determinada por dos parámetros: la media, que la sitúa, y la desviación típica, que la ensancha o la estrecha. La normal tipificada es la que tiene media 0 y desviación típica 1, y a ella se lleva cualquier otra mediante las puntuaciones z. Los porcentajes de la regla empírica —68, 95 y 99,7— son propiedades suyas.

Conviene además saber que la binomial se aproxima a la normal cuando el número de pruebas es grande y la probabilidad no es extrema, y a la Poisson cuando el número de pruebas es grande pero la probabilidad de éxito es muy pequeña. La Poisson es, por eso, el modelo natural de los sucesos raros, y el que se emplea para modelar la llegada de incidentes a una sala del 091 y dimensionar en consecuencia los recursos.

8.5. Grandes números y teorema central del límite

Dos teoremas sostienen toda la inferencia y se confunden entre sí con frecuencia:

• La ley de los grandes números dice que, al aumentar el número de repeticiones, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima a su probabilidad y la media muestral se aproxima a la esperanza. Es la garantía de que muestrear mucho acerca al valor real. No dice nada sobre la forma de la distribución.
• El teorema central del límite dice que la distribución de la media de muchas observaciones independientes tiende a ser normal, cualquiera que sea la distribución de la variable original, con tal de que su varianza sea finita. Es un resultado extraordinario: explica por qué la campana de Gauss aparece por todas partes y por qué pueden usarse intervalos de confianza basados en la normal aunque los datos de partida no lo sean. En la práctica se considera suficiente un tamaño en torno a treinta observaciones cuando la variable no es muy asimétrica.

9. La descomposición de la varianza y la relación entre variables

9.1. Varianza intergrupo e intragrupo

Cuando una población se divide en grupos, la varianza total puede descomponerse en dos sumandos, y esa descomposición es la idea que está detrás del análisis de la varianza:

• La varianza intergrupo o intergrupal (también llamada explicada o entre grupos) recoge cuánto se separan entre sí las medias de los grupos. Mide el efecto del factor que los distingue.
• La varianza intragrupo o intragrupal (residual o dentro de los grupos) recoge cuánto varían los individuos dentro de su propio grupo. Es la variabilidad que el factor no explica.

La lógica del contraste es inmediata: si la variabilidad entre los grupos es grande comparada con la que hay dentro de cada uno, el factor está produciendo un efecto real; si la de dentro se come a la de fuera, las diferencias observadas son compatibles con el azar. La proporción de varianza total que corresponde a la intergrupo es una medida del tamaño del efecto.

9.2. La varianza fenotípica

El mismo esquema se aplica en el estudio de las diferencias individuales, y ha caído literalmente en la Escala Ejecutiva. La varianza fenotípica es la variabilidad observada en un rasgo dentro de una población, y se descompone en dos grandes componentes:

• La varianza genética, atribuible a las diferencias genéticas entre los individuos. La proporción de varianza fenotípica que explica se denomina heredabilidad, un valor que se refiere a la población y no al individuo: decir que un rasgo tiene una heredabilidad del 50 % no significa que en cada persona la mitad venga de los genes.
• La varianza ambiental, atribuible al entorno, que a su vez se subdivide en dos:
  • La varianza ambiental común o compartida: la debida a las experiencias que comparten los miembros de una misma familia y que los hacen parecerse entre sí —el nivel socioeconómico del hogar, el barrio, el estilo educativo general de los padres—.
  • La varianza específica o no compartida: la intrafamiliar, atribuible a las experiencias particulares y propias de cada miembro de la familia, que los diferencian pese a criarse juntos —el grupo de amigos de cada uno, un profesor concreto, una enfermedad, el trato diferencial recibido, los accidentes biográficos—.

La distinción entre común y específica es exactamente lo que se pregunta, y el resultado más contraintuitivo de esta literatura es que, en buena parte de los rasgos de personalidad, la varianza específica pesa mucho más que la común: lo que diferencia a dos hermanos no es tanto la familia que comparten como lo que a cada uno le ha pasado por separado. Suele añadirse un tercer sumando, la interacción y correlación genotipo-ambiente, que recoge que los individuos no reciben el ambiente pasivamente, sino que lo buscan y lo provocan en parte según su propia disposición.

9.3. Correlación y regresión

La correlación mide la intensidad y el sentido de la relación entre dos variables. El coeficiente de correlación de Pearson toma valores entre -1 y +1:

• Próximo a +1: relación directa y fuerte; cuando una variable sube, la otra sube.
• Próximo a -1: relación inversa y fuerte; cuando una sube, la otra baja. Una correlación de -0,9 es más fuerte que una de +0,4: lo que mide la intensidad es el valor absoluto, y el signo solo indica la dirección. Es un error clásico de examen.
• Próximo a 0: ausencia de relación lineal. Cuidado con la coletilla: puede existir una relación fuerte pero curvilínea que Pearson no detecta, y por eso se dibuja siempre la nube de puntos antes.

Cuando las variables son ordinales o la relación no es lineal se emplea la correlación de Spearman, calculada sobre los rangos. Y el coeficiente de determinación, que es el cuadrado del de correlación, expresa la proporción de varianza de una variable explicada por la otra: una correlación de 0,6 explica el 36 % de la variabilidad, no el 60 %.

La regresión da el paso siguiente: ajusta la ecuación de la recta que mejor predice una variable a partir de otra, minimizando la suma de los cuadrados de los residuos. Permite pronosticar, pero solo dentro del rango observado: extrapolar fuera de él es una de las fuentes habituales de disparates.

Sobre esto hay una advertencia que ninguna preparación puede omitir: correlación no implica causalidad. Dos variables pueden aparecer relacionadas por azar (correlaciones espurias, tanto más frecuentes cuantas más parejas se prueben), por la acción de una tercera variable que influye en ambas —el ejemplo canónico son los helados vendidos y los delitos cometidos, unidos por el calor— o por causalidad inversa, cuando lo que se toma por causa es en realidad efecto: más policía donde hay más delito no significa que la policía produzca delito. Para sostener una relación causal hacen falta, además de la correlación, la precedencia temporal de la causa, la eliminación de explicaciones alternativas y, a ser posible, un diseño experimental.

10. Del dato a la decisión: el contraste de hipótesis

10.1. Hipótesis nula, p-valor y significación

El contraste de hipótesis es el procedimiento formal para decidir si lo observado en una muestra permite sostener una afirmación sobre la población. Se plantean dos hipótesis complementarias:

• La hipótesis nula afirma que no hay efecto, que no hay diferencia, que lo observado es fruto del azar. Es la que se somete a prueba y la que, en su caso, se rechaza.
• La hipótesis alternativa recoge lo que el investigador sostiene: que sí hay efecto o diferencia.

Se fija de antemano un nivel de significación —habitualmente 0,05, a veces 0,01—, se calcula el estadístico de contraste y se obtiene el p-valor, que es la probabilidad de observar un resultado al menos tan extremo como el obtenido si la hipótesis nula fuera cierta. Si el p-valor es menor que el nivel de significación, se rechaza la hipótesis nula y se dice que el resultado es estadísticamente significativo.

Tres precisiones que separan al que entiende del que repite:

• El p-valor no es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta. Es una condicionada en el sentido contrario, y confundirlas es la misma falacia del fiscal ya vista.
• No rechazar la nula no equivale a demostrarla. Puede ser, simplemente, que la muestra fuera demasiado pequeña para detectar el efecto. «Ausencia de prueba no es prueba de ausencia».
• Significación estadística no es relevancia práctica. Con una muestra suficientemente grande, cualquier diferencia ridícula se vuelve significativa. Por eso hay que informar siempre del tamaño del efecto y del intervalo de confianza, no solo del p-valor.

10.2. Los dos errores y la potencia

Al decidir con información incompleta se puede errar de dos maneras opuestas, y su cuadro es materia de pregunta segura:

	La hipótesis nula es cierta	La hipótesis nula es falsa
Se rechaza	Error de tipo I (alfa): ver un efecto que no existe	Decisión correcta (potencia)
No se rechaza	Decisión correcta	Error de tipo II (beta): no ver un efecto que sí existe

El error de tipo I es el falso positivo y su probabilidad es justamente el nivel de significación que se ha fijado. El error de tipo II es el falso negativo. La potencia del contraste es la probabilidad de detectar un efecto que realmente existe, y crece con el tamaño de la muestra, con el tamaño del efecto y con la reducción de la variabilidad.

La relación entre ambos errores reproduce exactamente la tensión entre sensibilidad y especificidad del tema anterior: reducir uno, manteniendo todo lo demás igual, aumenta el otro. Exigir un nivel de significación muy estricto protege de ver efectos inexistentes al precio de pasar por alto los reales. Cuál de los dos errores es más grave no lo decide la estadística, sino las consecuencias: en la valoración del riesgo de una víctima de violencia de género, el falso negativo es incomparablemente más costoso que el falso positivo, y por eso los instrumentos se calibran hacia la sensibilidad.

11. La estadística de la criminalidad en España

11.1. El marco legal de la función estadística

La estadística pública no es una actividad libre: está regulada. La norma cabecera es la Ley 12/1989, de 9 de mayo, de la Función Estadística Pública, que ordena la actividad estadística de la Administración del Estado. De ella hay que retener cuatro ideas:

• Principios. Su artículo 4.2 dispone que «las estadísticas para fines estatales se ajustarán a los principios de independencia profesional, imparcialidad, objetividad, fiabilidad, secreto estadístico, rentabilidad, transparencia, especialidad y proporcionalidad».
• Planificación. El Plan Estadístico Nacional es, según su artículo 8.1, «el principal instrumento ordenador de la actividad estadística de la Administración del Estado»; se aprueba por Real Decreto y tiene una vigencia de cuatro años, desarrollándose mediante programas anuales también aprobados por Real Decreto. El vigente es el Plan Estadístico Nacional 2025-2028, aprobado por el Real Decreto 1225/2024, de 3 de diciembre, cuyo programa anual para 2026 se aprobó por el Real Decreto 55/2026, de 3 de febrero.
• Secreto estadístico. Su artículo 13 declara que «serán objeto de protección y quedarán amparados por el secreto estadístico los datos confidenciales que obtengan los servicios estadísticos, tanto directamente de los informantes como a través de otras fuentes», entendiendo por confidenciales los que permiten identificar, directa o indirectamente, a las unidades estadísticas. El secreto obliga a no difundir en ningún caso los datos confidenciales, se aplica frente a todas las Administraciones y organismos públicos, alcanza a todo el personal estadístico y subsiste aun después de que quien está obligado concluya su actividad profesional.
• Límites del secreto. No quedan amparadas las simples relaciones de establecimientos o empresas en cuanto a denominación, emplazamiento, actividad e intervalo de tamaño, ni los datos obtenidos de fuentes públicas legalmente accesibles. Y la cesión entre Administraciones a efectos estadísticos solo cabe si el receptor desarrolla funciones fundamentalmente estadísticas, el destino es elaborar estadísticas para fines estatales y dispone de medios para preservar el secreto.

La consecuencia operativa para un policía es tajante: un dato recogido con finalidad estadística no puede utilizarse para una finalidad individual, ni de investigación ni sancionadora. Es un límite distinto —y añadido— al de la protección de datos personales.

11.2. La Dirección General de Coordinación y Estudios

En el Ministerio del Interior, la estadística de criminalidad tiene un titular orgánico concreto. Conforme al artículo 6 del Real Decreto 207/2024, de 27 de febrero, por el que se desarrolla la estructura orgánica básica del Departamento, la Dirección General de Coordinación y Estudios —dependiente de la Secretaría de Estado de Seguridad— es el órgano de apoyo y asesoramiento a través del cual el titular de la Secretaría de Estado ejerce su función de coordinación y supervisión de las Fuerzas y Cuerpos de Seguridad del Estado y de colaboración con las policías autonómicas y locales, y le corresponde, entre otras funciones, «elaborar periódicamente los datos estadísticos de criminalidad».

De su listado de funciones, las estadísticas son las dos primeras del bloque y hay que conocerlas casi de memoria porque han caído en examen:

• «Desarrollar, implantar y gestionar la Estadística Nacional de Criminalidad, integrando todos los datos procedentes de las Fuerzas y Cuerpos de Seguridad del Estado, las policías autonómicas y las policías locales».
• «Elaborar periódicamente informes estadísticos sobre la situación y evolución de la criminalidad».
• «Realizar investigaciones, estudios, análisis e informes sobre aspectos relacionados con la política de seguridad, el modelo policial y la seguridad ciudadana».

Junto a ellas ejerce otras muy características: es Unidad Nacional de CEPOL, impulsa la protección de infraestructuras críticas a través del CNPIC, actúa como Servicio Central de Violencia de Género para la dirección y operación del Sistema de Seguimiento Integral de esos casos, dirige la Oficina Nacional de lucha contra los delitos de odio y el Centro Nacional de Desaparecidos, y alberga la Oficina de Coordinación de Ciberseguridad y el CEPIC. De ella depende, con nivel orgánico de subdirección general, la Inspección de Personal y Servicios de Seguridad, de la que a su vez depende la Oficina Nacional de Garantías de los Derechos Humanos.

Y aquí está la trampa que el tribunal ha usado: elaborar inteligencia estratégica en la lucha contra el terrorismo y el crimen organizado NO es función de esta Dirección General, sino del CITCO, el Centro de Inteligencia contra el Terrorismo y el Crimen Organizado, que depende directamente de la Secretaría de Estado de Seguridad. La confusión es deliberada: ambos son órganos de apoyo de la misma Secretaría de Estado, pero uno hace estadística y coordinación y el otro, inteligencia.

11.3. Qué se cuenta y cómo se mide

La estadística de criminalidad de base policial se construye sobre unos pocos indicadores cuya definición hay que distinguir:

• Hechos conocidos: infracciones penales de las que las Fuerzas y Cuerpos de Seguridad han tenido conocimiento, por denuncia, por atestado de oficio o por comunicación de otro organismo. Es el indicador principal, y su unidad es el hecho, no la persona ni la denuncia.
• Hechos esclarecidos: aquellos en los que se ha identificado al presunto autor o se ha resuelto la investigación. La tasa de esclarecimiento es su cociente sobre los conocidos.
• Detenidos e investigados: personas, no hechos. Un mismo hecho puede dar varias personas y una persona puede responder de varios hechos, de modo que las cifras no son sumables entre sí.
• Victimizaciones: cada vez que una persona sufre un hecho, contada desde el punto de vista de la víctima.

Para comparar territorios o periodos no sirve la cifra absoluta, sino la tasa de criminalidad, que se expresa habitualmente en hechos por cada mil habitantes —o por cien mil, en indicadores de baja frecuencia como los homicidios—. Su denominador es la población, y ahí aparece un problema real: en zonas turísticas o de gran afluencia diaria, la población de derecho infravalora la población efectivamente presente e infla artificialmente la tasa.

Los datos se recogen en el Sistema Estadístico de Criminalidad (SEC), que integra los hechos conocidos por la Policía Nacional, la Guardia Civil, las policías dependientes de las comunidades autónomas —Ertzaintza, Mossos d'Esquadra y Policía Foral de Navarra— y las policías locales que aportan datos al sistema. Su difusión se articula en el Portal Estadístico de Criminalidad, en el Balance trimestral de criminalidad y en el anuario del Departamento, con datos por territorio y tipología.

⚠️ Un matiz metodológico que conviene retener: los balances trimestrales contienen datos pendientes de consolidación, es decir, provisionales hasta el cierre del año completo. Comparar un trimestre recién publicado con el dato consolidado de otro año es comparar cosas distintas. Todo ello se complementa con la estadística judicial del Consejo General del Poder Judicial y la del Instituto Nacional de Estadística y, en el plano europeo, con los datos comparados de Eurostat. Las tres fuentes no coinciden nunca: cuentan cosas distintas —hechos conocidos por la policía, procedimientos judiciales, condenas— y en momentos distintos del recorrido de un caso.

11.4. La cifra negra y la victimización

Toda estadística policial mide, en rigor, la delincuencia conocida, no la cometida. La diferencia entre una y otra es la cifra negra de la criminalidad, y no es un residuo pequeño ni uniforme: varía enormemente según el tipo de delito. La sustracción de un vehículo se denuncia casi siempre, porque hay seguro y trámite de por medio; el hurto de escasa cuantía, muchas menos veces; y los delitos contra la libertad sexual y la violencia intrafamiliar tienen tasas de denuncia notablemente bajas.

De ahí que una subida de las cifras admita siempre dos lecturas opuestas —más delitos o más denuncia— y que los aumentos de denuncia inducidos por campañas de concienciación, por mejoras en la atención a la víctima o por reformas legales sean, en realidad, buenas noticias que la serie presenta como malas.

El instrumento diseñado para aflorar la cifra negra es la encuesta de victimización, que pregunta directamente a una muestra de población si ha sufrido determinados hechos, los haya denunciado o no. Aporta además el motivo de la no denuncia y la percepción de inseguridad, que es una variable distinta del riesgo objetivo: hay colectivos con miedo alto y victimización baja. Sus dos problemas metodológicos clásicos son el telescopaje —recordar como reciente un hecho más antiguo, lo que infla las cifras— y el olvido de los hechos menores.

11.5. Las trampas de una serie de criminalidad

Leer bien una serie de criminalidad exige desconfiar de forma disciplinada:

• Cambios de definición o de sistema de registro. Si cambia la clasificación de infracciones o el sistema informático de recogida, la serie se rompe y el «salto» no es delincuencia, es contabilidad.
• Cambios legales. Cuando una conducta se despenaliza o se crea un tipo nuevo, las cifras se mueven sin que haya cambiado la realidad.
• Estacionalidad. Comparar julio con marzo no informa de nada; hay que comparar con el mismo periodo del año anterior.
• Base pequeña. En municipios de pocos habitantes, pasar de dos a cuatro hechos es un «aumento del 100 %» que no significa nada.
• Cifras absolutas frente a tasas. Las provincias más pobladas encabezan siempre el ranking absoluto; ese titular no dice nada sobre el riesgo.
• Cambio de la propensión a denunciar, ya explicado.

12. Estudios estadísticos sobre la prevención de la delincuencia

12.1. La ley de concentración del delito

El hallazgo empírico más sólido y más útil de la criminología cuantitativa de las últimas décadas es que el delito no se reparte al azar, sino que se concentra de manera extrema, y lo hace en tres dimensiones a la vez:

• En el espacio: una minoría muy pequeña de segmentos de calle concentra la mayoría de las llamadas y de los hechos de una ciudad. Son los puntos calientes (hot spots), y su identificación estadística —mediante densidad de sucesos sobre el mapa— es la base del despliegue moderno.
• En las personas que delinquen: el estudio longitudinal de Wolfgang, Figlio y Sellin, Delinquency in a Birth Cohort (1972), siguió hasta los 18 años a los 9.945 varones nacidos en Filadelfia en 1945 y encontró que el 6 % —los que habían sido detenidos cinco o más veces— acumulaba el 52 % de todos los hechos de la cohorte. Es el origen del concepto de delincuente crónico y de las estrategias centradas en los reincidentes.
• En las víctimas: una minoría sufre una parte desproporcionada de los hechos. Es la victimización repetida, y su corolario operativo es potente: el mejor predictor de que un domicilio sea asaltado es que ya lo haya sido, y el riesgo se dispara en las semanas inmediatamente siguientes.

La consecuencia de gestión es evidente: si el fenómeno se concentra, repartir los recursos de manera uniforme es la peor asignación posible.

12.2. Los experimentos que cambiaron la doctrina

La prevención dejó de discutirse por intuición cuando empezó a someterse a diseños experimentales, con asignación aleatoria de las zonas o de los casos a tratamiento y control. Tres estudios son de cita obligada:

• El experimento de patrulla preventiva de Kansas City (Kelling y otros, Police Foundation), desarrollado del 1 de octubre de 1972 al 30 de septiembre de 1973, dividió quince sectores en tres grupos de cinco: patrullaje habitual o de control, patrullaje suprimido salvo para atender llamadas o reactivo, y patrullaje intensificado dos o tres veces o proactivo. El resultado sacudió la profesión: variar la intensidad de la patrulla aleatoria en coche no produjo diferencias apreciables en la delincuencia registrada, ni en la victimización, ni en la sensación de seguridad de los vecinos, ni en el tiempo de respuesta. Conclusión: patrullar sin foco no previene.
• El experimento de puntos calientes de Minneapolis (Sherman y Weisburd, 1995) hizo la pregunta complementaria: en lugar de repartir, concentrar. Identificó 110 puntos calientes y los repartió al azar en dos mitades de 55, intensificando el patrullaje en las tratadas durante un año —de diciembre de 1988 a noviembre de 1989— con presencia intermitente, no constante. Encontró reducciones significativas de llamadas y desórdenes en los tratados. Es la base empírica del policing de puntos calientes, hoy una de las intervenciones con mejor evidencia acumulada.
• El experimento de Minneapolis sobre violencia doméstica (Sherman y Berk, 1984) fue el primero en asignar al azar la respuesta policial tras un episodio: detención, separación del agresor o mediación. Sobre unos trescientos casos, encontró menor reincidencia tras la detención en un seguimiento de seis meses. Es tan citado por su resultado como por lo que vino después: el Spouse Assault Replication Program, financiado por el Instituto Nacional de Justicia entre 1986 y 1989, lo replicó en seis ciudades —Omaha, Charlotte, Milwaukee, Miami, Colorado Springs y Atlanta— con unos tres mil casos, y el efecto no se sostuvo de manera uniforme: en algunas incluso se invirtió según la situación laboral del agresor. La lección metodológica vale por el tema entero: un solo estudio, por bien hecho que esté, no funda una política; hace falta replicación.

Junto a ellos, la evaluación cuantitativa de medidas situacionales —iluminación, videovigilancia, control de accesos, diseño urbano— ha permitido separar lo que funciona de lo que solo lo parece, y ha mostrado que la eficacia depende del contexto y del tipo de delito más que de la medida en abstracto.

12.3. Medir la calidad de la evidencia

No todos los estudios pesan igual. La escala de métodos científicos de Maryland —diseñada por Sherman, Gottfredson, MacKenzie, Eck, Reuter y Bushway para el informe que la Universidad de Maryland elevó al Congreso de los Estados Unidos en 1997, Preventing Crime: What Works, What Doesn't, What's Promising— ordena la calidad de una evaluación en cinco niveles, del más débil al más fuerte: la simple correlación observada en un momento dado; la comparación antes-después sin grupo de control; la comparación antes-después con grupo de control no equivalente; la comparación con múltiples unidades y control estadístico de las diferencias previas; y, en la cúspide, el ensayo con asignación aleatoria a tratamiento y control. Solo a partir del tercer nivel se considera que una evaluación permite conclusiones razonables sobre el efecto.

Por encima de los estudios individuales están las revisiones sistemáticas y los metaanálisis, que combinan los resultados de todos los estudios disponibles sobre una intervención y estiman un efecto conjunto con su intervalo. Es el nivel de evidencia que manejan los organismos de prevención basada en pruebas, y su gran enemigo es el sesgo de publicación: los estudios que no encuentran efecto se publican menos, de modo que la literatura disponible exagera sistemáticamente lo que funciona.

12.4. La predicción estadística del riesgo

La estadística no solo evalúa: también pronostica. En la valoración del riesgo conviven dos aproximaciones:

• La valoración clínica o profesional no estructurada, basada en el juicio del experto tras entrevistar y examinar el caso.
• La valoración actuarial o estadística, que aplica un conjunto de factores de riesgo previamente validados sobre muestras amplias y produce una puntuación y un nivel.

La evidencia acumulada favorece de forma consistente a la segunda en capacidad predictiva, mientras que la primera aporta matices que ningún baremo recoge; de ahí que se hayan impuesto los modelos de juicio profesional estructurado, que combinan ambas: el instrumento fija los factores a valorar y el profesional puede motivar una elevación del nivel resultante.

El ejemplo español es el Sistema de Seguimiento Integral en los casos de Violencia de Género (VioGén), cuya dirección, definición y operación corresponden precisamente a la Dirección General de Coordinación y Estudios como Servicio Central de Violencia de Género. Sus formularios de valoración policial del riesgo y de valoración policial de la evolución del riesgo son instrumentos actuariales que asignan un nivel del que se derivan medidas de protección obligatorias. Su calibración ilustra todo lo dicho sobre sensibilidad y especificidad: dado que el coste de un falso negativo es incomparablemente mayor, el sistema se orienta a no dejar escapar casos aunque ello suponga asumir más falsos positivos, y por eso el nivel puede elevarse pero no rebajarse sin motivación.

Toda predicción estadística arrastra además dos cautelas serias que conviene saber enunciar: los modelos aprenden de datos históricos y, si esos datos reflejan una actuación desigual, pueden reproducir y amplificar el sesgo; y un pronóstico de riesgo es una probabilidad sobre un grupo de referencia, no una certeza sobre una persona, de modo que nunca sustituye a la decisión motivada de quien tiene la responsabilidad.

12.5. Regresión a la media y desplazamiento

Dos fenómenos explican buena parte de los éxitos y de los fracasos aparentes de la prevención, y ambos son estadísticos:

• La regresión a la media. Cuando se interviene justo donde se ha registrado un pico extraordinario, es muy probable que la cifra baje después aunque no se haga nada, sencillamente porque los valores extremos tienden a ser seguidos por valores más próximos al promedio. Como los dispositivos se despliegan precisamente tras los picos, el diseño está construido para atribuirse mejoras que habrían ocurrido igual. La única defensa es el grupo de control: comparar con zonas semejantes en las que no se intervino.
• El desplazamiento del delito. La actividad delictiva puede trasladarse a otro lugar, a otro momento, a otro objetivo, a otra táctica o a otro tipo de delito, con lo que una evaluación centrada solo en la zona tratada exageraría el éxito. Por eso las evaluaciones bien hechas incluyen un área de amortiguación alrededor de la tratada. El dato empírico, sin embargo, es alentador: el desplazamiento suele ser parcial y con frecuencia se observa el fenómeno contrario, la difusión de beneficios, según la cual el efecto preventivo se extiende a las zonas contiguas no tratadas.

A ellos se añade un tercero, el efecto de anuncio: la reducción que se produce por el mero conocimiento del dispositivo y que se desvanece cuando la presencia se retira, salvo que se consiga un cambio duradero en las oportunidades del entorno.

13. Diez claves para el examen

• Descriptiva resume el conjunto observado; inferencial generaliza a la población con un error conocido. El parámetro es de la población; el estadístico, de la muestra.
• Escalas de Stevens: nominal (moda), ordinal (mediana), intervalo (media, cero arbitrario) y razón (cero absoluto, admite cocientes).
• Solo el muestreo probabilístico permite calcular el error. Estratificado: grupos homogéneos dentro, se toma de todos. Conglomerados: grupos heterogéneos dentro, se toman grupos enteros. Afijación simple, proporcional y óptima. El error baja con la raíz del tamaño: para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.
• 🚨 A la mediana NO le afectan los valores extremos; a la media sí. La moda es la única posible en variables nominales, puede no existir y puede no ser única. En distribución simétrica y unimodal, las tres coinciden.
• Varianza = media de los cuadrados de las desviaciones; desviación típica = su raíz. Sumar una constante no altera la dispersión; multiplicar por ella multiplica la desviación típica. El coeficiente de variación es adimensional y sirve para comparar. Puntuaciones z: media 0 y desviación 1; regla 68-95-99,7.
• Cuantiles: tres cuartiles, nueve deciles, noventa y nueve centiles. El histograma lleva las barras pegadas (continua) y el diagrama de barras, separadas (cualitativa). El box plot muestra mediana, cuartiles y atípicos.
• 🚨 Fenómeno aleatorio = aquel del que no es posible predecir el resultado, frente al determinista, que repetido en idénticas condiciones da siempre el mismo. Probabilidad: Laplace (casos favorables entre posibles, exige equiprobabilidad), frecuentista (límite de la frecuencia relativa) y axiomática de Kolmogorov.
• 🚨 Esperanza = valor promedio que se espera obtener al repetir muchas veces el experimento aleatorio. No confundir con la varianza ni con la desviación. En la Poisson, esperanza y varianza coinciden. El teorema central del límite hace normal la distribución de la media sea cual sea la de partida.
• 🚨 Varianza fenotípica = genética + ambiental; la ambiental se divide en común (compartida por la familia) y específica, que es la intrafamiliar atribuible a las experiencias particulares y propias de cada miembro. Correlación no implica causalidad; el signo indica dirección y el valor absoluto, intensidad.
• 🚨 La Dirección General de Coordinación y Estudios desarrolla y gestiona la Estadística Nacional de Criminalidad y elabora informes periódicos sobre la criminalidad (art. 6 RD 207/2024). NO le corresponde elaborar inteligencia estratégica contra el terrorismo y el crimen organizado: eso es el CITCO. Marco: Ley 12/1989 y secreto estadístico; Plan Estadístico Nacional por Real Decreto y cuatro años de vigencia.